Para cada função f abaixo, encontre duas funções de iteração \varphi, isto é, funções cujo ponto fixo \bar{x} seja o zero de f.
f(x)=x^{2}-\frac{7}{x}

Passo 1

O enunciado pede duas funções de iteração \varphi tais que, se \bar x for ponto fixo de \varphi, tenha-se f(\bar x)=0, onde
f(x)=x^2-\frac{7}{x}\,.
Os zeros de f satisfazem
x^2=\frac{7}{x} \quad\Longrightarrow\quad x^3=7 \quad\Longrightarrow\quad \bar x=7^{1/3}.
Logo qualquer rearranjo de f(x)=0 que leve a x=\varphi(x) cumpre \varphi(\bar x)=\bar x.

Passo 2

Uma primeira ideia é isolar x em
x^2=\frac{7}{x}
tirando raiz quadrada (escolhendo o ramo positivo para convergir a 7^{1/3}):
\phi_1(x)=\sqrt{\frac{7}{x}}\,.
De fato, \phi_1\bigl(7^{1/3}\bigr)=\sqrt{7/7^{1/3}}=7^{1/3}.

Passo 3

Outra forma clássica é usar o método de Newton para f(x). Como
f'(x)=2x+\frac{7}{x^2},
a iteração de Newton é
\phi_2(x) = x-\frac{f(x)}{f'(x)} = x-\frac{x^2-\tfrac{7}{x}}{2x+\tfrac{7}{x^2}}.
Bastando simplificar, obtemos
\phi_2(x) =\;x\;\frac{x^3+14}{2x^3+7},
e novamente \phi_2(7^{1/3})=7^{1/3}.

Resposta

\displaystyle \phi_1(x)=\sqrt{\frac{7}{x}} \displaystyle \phi_2(x)=x\,\frac{x^3+14}{2x^3+7}

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