Questão 4: Do ponto de vista dos erros obtidos, como justificar a afirmação de que a regra de Simpson é melhor do que a regra dos Trapézios?

Passo 1

O enunciado nos pede para justificar, do ponto de vista dos erros de aproximação, por que a regra de Simpson é considerada melhor do que a regra dos Trapézios. O conteúdo envolve fórmulas de erro em integração numérica, que derivam de expansões em série de Taylor da função a integrar.

Passo 2

Na regra dos Trapézios, dividimos [a,b] em n subintervalos de comprimento h=(b-a)/n. O termo de erro para algum \xi\in(a,b) é dado por
E_T \;=\; -\,\frac{(b-a)}{12}\,h^2\,f''(\xi),
ou seja, \displaystyle E_T = O(h^2). Isso significa que, se eu reduzir o passo h pela metade, o erro cai por um fator aproximadamente 1/4.

Passo 3

Na regra de Simpson, o mesmo intervalo [a,b] é particionado em n subintervalos (com n par) e se aplica uma combinação de trapézios e retângulos de ordem superior. O erro associado, para algum \eta\in(a,b), é
E_S \;=\; -\,\frac{(b-a)}{180}\,h^4\,f^{(4)}(\eta),
ou seja, \displaystyle E_S = O(h^4). Aqui, se eu reduzir h pela metade, o erro cai por um fator aproximadamente 1/16.

Passo 4

Comparando as ordens de convergência:
– Trapézios: erro O(h^2).
– Simpson: erro O(h^4).
Como o erro de Simpson decresce com a quarta potência de h, enquanto o erro dos Trapézios só decresce com a segunda potência, para uma malha suficientemente fina a regra de Simpson fornece resultados muito mais precisos com o mesmo h (ou, equivalentemente, com o mesmo número de avaliações de f).

Resposta

A regra de Simpson é melhor porque seu erro é O(h^4), enquanto o erro dos Trapézios é apenas O(h^2), fazendo com que Simpson convirja muito mais rápido ao refinar a malha.

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