Questão 4: Do ponto de vista dos erros obtidos, como justificar a afirmação de que a regra de Simpson é melhor do que a regra dos Trapézios?
Passo 1
O enunciado nos pede para justificar, do ponto de vista dos erros de aproximação, por que a regra de Simpson é considerada melhor do que a regra dos Trapézios. O conteúdo envolve fórmulas de erro em integração numérica, que derivam de expansões em série de Taylor da função a integrar.
Passo 2
Na regra dos Trapézios, dividimos
em
subintervalos de comprimento
. O termo de erro para algum
é dado por
ou seja,
. Isso significa que, se eu reduzir o passo
pela metade, o erro cai por um fator aproximadamente
.
Passo 3
Na regra de Simpson, o mesmo intervalo
é particionado em
subintervalos (com
par) e se aplica uma combinação de trapézios e retângulos de ordem superior. O erro associado, para algum
, é
ou seja,
. Aqui, se eu reduzir
pela metade, o erro cai por um fator aproximadamente
.
Passo 4
Comparando as ordens de convergência:
– Trapézios: erro .
– Simpson: erro .
– Trapézios: erro
– Simpson: erro
Como o erro de Simpson decresce com a quarta potência de
, enquanto o erro dos Trapézios só decresce com a segunda potência, para uma malha suficientemente fina a regra de Simpson fornece resultados muito mais precisos com o mesmo
(ou, equivalentemente, com o mesmo número de avaliações de
).
Resposta
A regra de Simpson é melhor porque seu erro é
, enquanto o erro dos Trapézios é apenas
, fazendo com que Simpson convirja muito mais rápido ao refinar a malha.