A função real f(x) satisfaz a seguinte equação sen(x2+f(x))=x cdot f(x)-x2. Considere a função g, definida por g(x)=k cdot f(x)x com r neq 0 e k in R. Sabendo que f(2)=-1, podemos afirmar que o valor da constante real k para g^prime(2)=f^prime(2) é: 85

Passo 1

O exercício diz que a função real f satisfaz a equação sen l(tfracx2+f(x)r)=x,f(x)-\tfrac{x}{2} e que g(x)=k,\tfrac{f(x)}{x}. Sabendo que f(2)=-1, queremos achar k tal que g’(2)=f’(2). Vamos usar derivada implícita e derivada de quociente.

Passo 2

Diferenciando implicitamente
cosl(tfracx2+f(x)r)cdotl(tfrac12+f'(x)r) = f(x)+x,f'(x)-tfrac12
Avalia em x=2, onde f(2)=-1 e tfrac22+f(2)=0 logo cos0=1. Substituindo:
tfrac12+f'(2)= -1+2f'(2)-tfrac12=2f'(2)-tfrac32
Resolvendo obtemos f’(2)=2.

Passo 3

A função g(x)=k,f(x)/x tem derivada
g'(x)=kx f'(x)-f(x)x^2
Logo
g'(2)=k2f'(2)-f(2)2^2=k2cdot2-(-1)4=5k4

Passo 4

Para ter g’(2)=f’(2)=2 basta resolver
5k4=2
que dá k=8/5.

Resposta

tfrac85

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