A função real, na variável x, dada por f(x)=m \cdot a^{x} é tal que f(1)=6 e f(2)=18. Nessas condições:
b) Determine x para que se tenha f(x)=\frac{2}{81}.

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=m\cdot a^{x}\, e fornece três condições:
  • \,f(1)=6\,.
  • \,f(2)=18\,.
  • Pergunta: determinar x tal que \,f(x)=\dfrac{2}{81}\,.
Vou listar as informações úteis que temos:
  • A função depende de dois parâmetros desconhecidos: \,m (um fator multiplicativo) e \,a (a base da exponencial).
  • Os valores em x=1 e x=2 permitem encontrar \,m e \,a.
  • Depois, com \,m e \,a conhecidos, é só resolver a equação exponencial \,m a^{x} = \dfrac{2}{81}\, para x.

Passo 2

Usar as duas condições dadas para encontrar \,a e \,m.
Escrevendo as igualdades fornecidas:
f(1)=m a^{1}=6,
f(2)=m a^{2}=18.
Divido a segunda igualdade pela primeira para eliminar m. Isso usa a propriedade dos expoentes \,a^{2}/a^{1}=a^{2-1}=a\, e o fato de que m se cancela:
\frac{m a^{2}}{m a^{1}}= \frac{18}{6} \quad\Longrightarrow\quad a = 3.
Então achamos \,a=3.

Passo 3

Agora que \,a é conhecido, volto à primeira igualdade para achar \,m:
m\cdot a = 6 \quad\Longrightarrow\quad m = \frac{6}{a} = \frac{6}{3} = 2.
Portanto a função ficou explícita:
f(x)=2\cdot 3^{x}.
Explicando rapidamente o que isso significa: \,m=2 é a escala inicial (valor multiplicador) e \,a=3 é a razão de crescimento por unidade em x. A forma m a^{x} é uma função exponencial; para cada aumento de 1 em x, o valor é multiplicado por a.

Passo 4

Resolver a equação \,f(x)=\dfrac{2}{81}\, com os parâmetros encontrados:
2\cdot 3^{x} = \frac{2}{81}.
Divido ambos os lados por 2:
3^{x} = \frac{1}{81}.
Reconheço que \,81=3^{4}, então
\frac{1}{81} = 3^{-4}.
Usando a propriedade fundamental das potências com mesma base positiva diferente de 1 (se a^{u}=a^{v} então u=v), segue que
x = -4.
Como alternativa (se for mais confortável na prova), poderia aplicar logaritmos:
x = \frac{\log\!\left(\tfrac{1}{81}\right)}{\log 3} = \frac{\log 1 - \log 81}{\log 3} = \frac{0 - \log(3^{4})}{\log 3} = \frac{-4\log 3}{\log 3} = -4.

Passo 5

Pequeno exemplo extra (para fixar a ideia): se em outra função g(x)=M\cdot b^{x} tivesse g(1)=4 e g(2)=8, dividir g(2)/g(1)=8/4=2 daria b=2 e então M=4/2=2, logo g(x)=2\cdot 2^{x}. Isso é o mesmo procedimento que usamos aqui.

Resposta

\,x=-4\,

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