A função real, na variável
, dada por
é tal que
e
. Nessas condições:
b) Determine
para que se tenha
.
b) Determine
Passo 1
O enunciado dá a função
e fornece três condições:
-
. -
. - Pergunta: determinar
tal que .
Vou listar as informações úteis que temos:
- A função depende de dois parâmetros desconhecidos:
(um fator multiplicativo) e (a base da exponencial). - Os valores em
e permitem encontrar e . - Depois, com
e conhecidos, é só resolver a equação exponencial para .
Passo 2
Usar as duas condições dadas para encontrar
e
.
Escrevendo as igualdades fornecidas:
Divido a segunda igualdade pela primeira para eliminar
. Isso usa a propriedade dos expoentes
e o fato de que
se cancela:
Então achamos
.
Passo 3
Agora que
é conhecido, volto à primeira igualdade para achar
:
Portanto a função ficou explícita:
Explicando rapidamente o que isso significa:
é a escala inicial (valor multiplicador) e
é a razão de crescimento por unidade em
. A forma
é uma função exponencial; para cada aumento de
em
, o valor é multiplicado por
.
Passo 4
Resolver a equação
com os parâmetros encontrados:
Divido ambos os lados por
:
Reconheço que
, então
Usando a propriedade fundamental das potências com mesma base positiva diferente de
(se
então
), segue que
Como alternativa (se for mais confortável na prova), poderia aplicar logaritmos:
Passo 5
Pequeno exemplo extra (para fixar a ideia): se em outra função
tivesse
e
, dividir
daria
e então
, logo
. Isso é o mesmo procedimento que usamos aqui.