Qual é o valor de k nas expressões?
a) \mathrm{K}=2 \cdot \log _{3} 243+\log 1+\log _{3} 3^{-7}-3 \cdot \ln \mathrm{e}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o valor de k na expressão
\mathrm{K}=2 \cdot \log_{3} 243+\log 1+\log_{3} 3^{-7}-3 \cdot \ln e.
Informações relevantes dadas (cada símbolo matemático está entre delimitadores ...):
  • Há logaritmos em base 3: \log_{3} 243 e \log_{3} 3^{-7}.
  • Há um \log 1 sem base indicada (isso significa logaritmo de 1 em alguma base convencional; o valor não depende da base).
  • Há um logaritmo natural \ln e.
    A pergunta é: qual é o valor numérico de k (ou seja, calcular o somatório desses termos).

Passo 2

Simplificar \log_{3} 243.
  • Conceito: \log_{b} a = c significa que b^{c}=a. Então, para \log_{3} 243 procuramos c tal que 3^{c}=243.
  • Observação de potência: 3^{5}=243.
    Portanto,
\log_{3} 243 = 5.

Passo 3

Avaliar 2\cdot \log_{3} 243.
  • Podemos multiplicar o resultado obtido no passo anterior por 2:
2\cdot \log_{3} 243 = 2\cdot 5 = 10.
(Nota didática: também vale a identidade a\log_{b} x=\log_{b} x^{a}, então 2\log_{3}243=\log_{3}243^{2}=\log_{3}3^{10}=10, mesmo resultado.)

Passo 4

Simplificar \log 1.
  • Conceito: para qualquer base b>0, b^{0}=1. Logo \log_{b}1=0.
  • Como \log 1 é logaritmo de 1 (base não relevante), então
\log 1 = 0.

Passo 5

Simplificar \log_{3} 3^{-7}.
  • Identidade importante: \log_{b} b^{x}=x (porque b^{x} é a potência que dá b^{x}).
    Aplicando:
\log_{3} 3^{-7} = -7.

Passo 6

Simplificar -3\cdot \ln e.
  • Definição: \ln é o logaritmo na base e, e e^{1}=e. Logo \ln e=1.
    Portanto,
-3\cdot \ln e = -3\cdot 1 = -3.

Passo 7

Somar todos os termos simplificados para obter k.
  • Reunindo os resultados:
2\cdot \log_{3}243 = 10,\qquad \log 1 = 0,\qquad \log_{3}3^{-7} = -7,\qquad -3\cdot \ln e = -3.
  • Soma:
k = 10 + 0 + (-7) + (-3) = 10 -7 -3 = 0.

Resposta

k=0

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