Qual é o valor do
? E do
?
Passo 1
O enunciado pede dois valores de logaritmo:
- Qual é o valor de
. - Qual é o valor de
.
Informações relevantes que já temos (implícitas no enunciado):
-
. -
. -
.
Passo 2
O que é logaritmo e a fórmula que vamos usar. Logaritmo é a operação inversa da potência: se
com
,
, então
.
Uma ferramenta muito útil para calcular logaritmos é a fórmula de mudança de base (change-of-base):
onde
é o logaritmo natural (base
). Essa fórmula vale para qualquer base
,
, e qualquer
. Vou usar essa fórmula porque transforma logaritmos com bases estranhas em razões de ln, que são fáceis de manipular simbolicamente.
Explicando a fórmula de mudança de base: comece com
. Isso significa
. Tomando ln dos dois lados dá
. Pela propriedade
, obtemos
. Pronto.
Passo 3
Calcular
usando mudança de base e simplificações algébricas.
Primeiro escrevo em termos de ln:
Como
, uso a propriedade
:
Isso já é uma forma exata e limpa. Se quisermos um número decimal aproximado, precisamos de valores numéricos para
e
. Usando aproximações padrão:
Multiplico o numerador:
Agora divido:
Comentário intuitivo rápido:
é o expoente que dá 8 quando a base é 5. Como
e
, o expoente deve estar entre
e
; o valor
faz sentido.
Passo 4
Forma alternativa (mais didática) para entender
em relação a potências de
. Usando mudança de base para base
:
Como
, fica
E
, então
. Mesmo resultado, só que às vezes fica mais intuitivo trabalhar com potências de
.
Passo 5
Calcular
. Primeiro observo que
. Uso mudança de base:
Como
,
. E
. Substituindo:
Essa é uma forma exata. Podemos escrever também
pois
.
Passo 6
Obter a aproximação numérica de
. Usando aproximações padrão:
Calculo a razão:
Multiplico por
:
Intuição: como a base
está entre
e
, a função
é decrescente, então logaritmos com base menor que 1 dão sinais invertidos em relação a bases maiores que 1. Por exemplo,
, então o logaritmo é negativo — coerente com o resultado.
Passo 7
Resumo dos resultados exatos e suas aproximações:
-
. -
.