Qual é o valor do \log _{5} 8 ? E do \log _{0,5} 100 ?

Passo 1

O enunciado pede dois valores de logaritmo:
  • Qual é o valor de \log_{5} 8.
  • Qual é o valor de \log_{0,5} 100.
Informações relevantes que já temos (implícitas no enunciado):
  • 8 = 2^{3}.
  • 0,5 = \tfrac{1}{2}.
  • 100 = 10^{2}.

Passo 2

O que é logaritmo e a fórmula que vamos usar. Logaritmo é a operação inversa da potência: se a^{x}=b com a>0, a\neq1, então x=\log_{a} b.
Uma ferramenta muito útil para calcular logaritmos é a fórmula de mudança de base (change-of-base):
\log_{a} b = \frac{\ln b}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural (base e). Essa fórmula vale para qualquer base a>0, a\neq1, e qualquer b>0. Vou usar essa fórmula porque transforma logaritmos com bases estranhas em razões de ln, que são fáceis de manipular simbolicamente.
Explicando a fórmula de mudança de base: comece com x=\log_{a} b. Isso significa a^{x}=b. Tomando ln dos dois lados dá \ln(a^{x})=\ln b. Pela propriedade \ln(a^{x})=x\ln a, obtemos x=\dfrac{\ln b}{\ln a}. Pronto.

Passo 3

Calcular \log_{5} 8 usando mudança de base e simplificações algébricas.
Primeiro escrevo em termos de ln:
\log_{5} 8 = \frac{\ln 8}{\ln 5}.
Como 8=2^{3}, uso a propriedade \ln(2^{3})=3\ln 2:
\log_{5} 8 = \frac{3\ln 2}{\ln 5}.
Isso já é uma forma exata e limpa. Se quisermos um número decimal aproximado, precisamos de valores numéricos para \ln 2 e \ln 5. Usando aproximações padrão:
\ln 2 \approx 0,693147,\qquad \ln 5 \approx 1,609438.
Multiplico o numerador:
3\ln 2 \approx 3\times 0,693147 = 2,079441.
Agora divido:
\log_{5} 8 \approx \frac{2,079441}{1,609438}\approx 1,291031.
Comentário intuitivo rápido: \log_{5}8 é o expoente que dá 8 quando a base é 5. Como 5^{1}=5 e 5^{2}=25, o expoente deve estar entre 1 e 2; o valor 1,291\ldots faz sentido.

Passo 4

Forma alternativa (mais didática) para entender \log_{5}8 em relação a potências de 2. Usando mudança de base para base 2:
\log_{5}8 = \frac{\log_{2}8}{\log_{2}5}.
Como \log_{2}8=3, fica
\log_{5}8 = \frac{3}{\log_{2}5}.
E \log_{2}5\approx 2,321928, então \log_{5}8 \approx 3/2,321928 \approx 1,291031. Mesmo resultado, só que às vezes fica mais intuitivo trabalhar com potências de 2.

Passo 5

Calcular \log_{0,5} 100. Primeiro observo que 0,5=\tfrac{1}{2}. Uso mudança de base:
\log_{0,5}100 = \frac{\ln 100}{\ln(0,5)}.
Como 100=10^{2}, \ln 100 = 2\ln 10. E \ln(0,5)=\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = -\ln 2. Substituindo:
\log_{0,5}100 = \frac{2\ln 10}{-\ln 2} = -2\cdot\frac{\ln 10}{\ln 2}.
Essa é uma forma exata. Podemos escrever também
\log_{0,5}100 = -2\log_{2}10,
pois \log_{2}10=\dfrac{\ln 10}{\ln 2}.

Passo 6

Obter a aproximação numérica de \log_{0,5}100. Usando aproximações padrão:
\ln 10 \approx 2,302585,\qquad \ln 2 \approx 0,693147.
Calculo a razão:
\frac{\ln 10}{\ln 2}\approx \frac{2,302585}{0,693147}\approx 3,321928.
Multiplico por -2:
\log_{0,5}100 \approx -2\times 3,321928 \approx -6,643856.
Intuição: como a base 0,5 está entre 0 e 1, a função a^{x} é decrescente, então logaritmos com base menor que 1 dão sinais invertidos em relação a bases maiores que 1. Por exemplo, (0,5)^{-6,6438}\approx 100, então o logaritmo é negativo — coerente com o resultado.

Passo 7

Resumo dos resultados exatos e suas aproximações:
  • \log_{5}8 = \dfrac{3\ln 2}{\ln 5}\approx 1,291031.
  • \log_{0,5}100 = -2\,\dfrac{\ln 10}{\ln 2}\approx -6,643856.

Resposta

\log_{5}8=\dfrac{3\ln 2}{\ln 5}\approx 1,291031
\log_{0,5}100=-2\,\dfrac{\ln 10}{\ln 2}\approx -6,643856

Exercícios relacionados