Uma função está representada (em t=0) pela função de onda
psi(x, 0)= A(a^2-x^2), & se -a <= x <=+a 0, & caso contrário á
Encontre a incerteza De e De.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de onda psi(x, 0) definida para t = 0 e queremos encontrar as incertezas na posição ( De) e no momento ( De). Isso faz parte da física quântica, mais especificamente do princípio da incerteza de Heisenberg. Para resolver isso, vamos precisar normalizar a função de onda e calcular os valores esperados de x, x^2, p e p^2.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar a função de onda. Isso significa ajustar a constante A de forma que a probabilidade total de encontrar a partícula em todo o espaço seja 1. A condição de normalização é:
integral-infty^+infty |psi(x, 0)|^2 dx = 1
Como a função é zero fora de [-a, a], a integral fica:
integral-a^a A^2 (a^2 - x^2)^2 dx = 1

Passo 3

Agora, vamos calcular essa integral. Expandindo (a^2 - x^2)^2:
(a^2 - x^2)^2 = a^4 - 2a^2x^2 + x^4
Então, a integral fica:
A^2 integral-a^a (a^4 - 2a^2x^2 + x^4) dx = 1
Calculando cada termo:
integral-a^a a^4 dx = 2a^5
integral-a^a x^2 dx = 2a^33
integral-a^a x^4 dx = 2a^55
Substituindo de volta:
A^2 (2a^5 - 2a^2 cdot 2a^33 + 2a^55) = 1
A^2 (2a^5 - 4a^53 + 2a^55) = 1
A^2 (30a^5 - 40a^5 + 12a^515) = 1
A^2 (2a^515) = 1
A^2 = 152a^5
A = raiz152a^5 = raiz15raiz2a^5/2

Passo 4

Agora que temos A, vamos calcular o valor esperado de x, que é lang<= x rang<=. Como a função é simétrica em relação a x = 0, lang<= x rang<= = 0.

Passo 5

Em seguida, calculamos lang<= x^2 rang<=:
lang<= x^2 rang<= = integral-a^a x^2 |psi(x, 0)|^2 dx = A^2 integral-a^a x^2 (a^2 - x^2)^2 dx
Expandindo novamente:
x^2 (a^2 - x^2)^2 = a^2x^2 - 2x^4 + x^6
Calculando cada termo:
integral-a^a a^2x^2 dx = a^2 cdot 2a^33 = 2a^53
integral-a^a x^4 dx = 2a^55
integral-a^a x^6 dx = 2a^77
Então:
lang<= x^2 rang<= = A^2 (2a^53 - 2 cdot 2a^55 + 2a^77) = A^2 (2a^53 - 4a^55 + 2a^77)
Substituindo A^2 = 152a^5:
lang<= x^2 rang<= = 152a^5 (2a^53 - 4a^55 + 2a^77) = 152 (23 - 45 + 2a^27)
Simplificando os números:
23 - 45 = 10 - 1215 = -215
Então:
lang<= x^2 rang<= = 152 (-215 + 2a^27) = 152 cdot 2a^27 = 15a^27

Passo 6

Agora, a incerteza na posição De é dada por:
De

Passo 7

Para encontrar a incerteza no momento De, usamos a relação de Heisenberg:
Já temos De, então:

Resposta

A incerteza na posição é De e a incerteza no momento é De= hbar2 a raiz715.

Exercícios relacionados