Resolva o problema de valor inicial.
b) \frac{d y}{d t}+3 t^{2} y=e^{-t^{3}+t}, \t y(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
\frac{dy}{dt} + 3t^{2}\,y = e^{-t^{3}+t}, \quad y(0)=2.
Trata-se de uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(t) a partir de
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int 3t^{2}\,dt\Bigr) = \exp\bigl(t^{3}\bigr).
Multiplicando a equação original por \mu(t), obtemos
e^{t^{3}}\frac{dy}{dt} + 3t^{2}\,e^{t^{3}}\,y = e^{t^{3}}\,e^{-t^{3}+t} \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{3}}\,y\bigr) = e^{t}.

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
\int \frac{d}{dt}\bigl(e^{t^{3}}\,y\bigr)\,dt = \int e^{t}\,dt \quad\Longrightarrow\quad e^{t^{3}}\,y = e^{t} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos y e aplicamos a condição inicial y(0)=2:
y = e^{-t^{3}}\bigl(e^{t} + C\bigr) = e^{-t^{3}+t} + C\,e^{-t^{3}},
em t=0 temos
y(0) = e^{0} + C\,e^{0} = 1 + C = 2 \quad\Longrightarrow\quad C = 1.

Resposta

y(t) = e^{-t^{3}+t} + e^{-t^{3}}.

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