A função f(x)=x-2 sen x é contínua em [0,2 pi]. Uma vez que f^prime(x)=1-2 cos x, te mos f^prime(x)=0 quando cos x=12, e isso ocorre quando x=pi / 3 ou 5 pi / 3. Os valores de f nesses números críticos são
f(pi / 3)=pi3-2 sen pi3=pi3-raiz3 approx-0,684853 f(5 pi / 3)=5 pi3-2 sen 5 pi3=5 pi3+raiz3 approx 6,968039
Os valores de f nas extremidades são
f(0)=0 e f(2 pi)=2 pi approx 6,28
Comparando esses quatro múmeros e usando o Método do Intervalo Fechado, vemos que o valor mínimo absoluto é f(pi / 3)=pi / 3-raiz3 e o valor máximo absoluto é f(5 pi / 3)=5 pi / 3+raiz3. Os valores da parte (a) servem como uma verificação de nosso trabalho.

Passo 1

O enunciado pede para determinar o valor mínimo e o valor máximo absolutos da função
f(x)=x-2sin x
no intervalo fechado [0,2pi]. Como f é contínua em um intervalo fechado, pelo Teorema de Weierstrass ela atinge mínimo e máximo absolutos. Para isso, vamos usar o Método do Intervalo Fechado:
  1. calcular f'(x) e achar pontos críticos em (0,2pi);
  2. avaliar f nos pontos críticos e nas extremidades x=0 e x=2pi;
  3. comparar esses valores para identificar mínimo e máximo absolutos.

Passo 2

Calculamos a derivada de
f(x)=x-2sin x
pela regra da soma e da derivada de sin x:
f'(x)=ddx(x)-2ddx(sin x)=1-2cos x
Para encontrar pontos críticos, resolvemos
f'(x)=0Longrightarrow 1-2cos x=0Longrightarrow cos x=12
No intervalo [0,2pi], isso ocorre em
x=pi3 e x=5pi3

Passo 3

Avaliamos f nas extremidades do intervalo:
f(0)=0-2sin0=0,
f(2pi)=2pi-2sin(2pi)=2pi

Passo 4

Avaliamos f nos pontos críticos:
Para x=pi/3, sinpi3=raiz32, então
fl(tfracpi3r) =tfracpi3-2cdotraiz32 =pi3-raiz3
Para x=5pi/3, sin5pi3=-raiz32, então
fl(tfrac5pi3r) =5pi3-2cdotl(-raiz32r) =5pi3+raiz3

Passo 5

Comparando os quatro valores:
fl(tfracpi3r)=pi3-raiz3approx -0,6849,
f(0)=0,
f(2pi)=2piapprox 6,2832,
fl(tfrac5pi3r)=5pi3+raiz3approx 6,9680
Logo, o menor valor é f(pi/3)=pi3-raiz3 e o maior valor é f(5pi/3)=5pi3+raiz3.

Resposta

O valor mínimo absoluto é
fl(tfracpi3r)=pi3-raiz3,
e o valor máximo absoluto é
fl(tfrac5pi3r)=5pi3+raiz3

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