Se a função y(x, t) = (6 mm) sen[kx + (570 rad/s)t + ϕ] descreve uma onda que se propaga em uma corda, quanto tempo um ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos y = +2,0 mm e y = –2,0 mm.?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve uma onda numa corda: $ y(x, t) = (6, mm) \cdot \sin(kx + 570, rad/s \cdot t + \phi) $. A pergunta é: quanto tempo um ponto nessa corda leva para se mover de $ y = +2,0, mm $ para $ y = -2,0, mm $? Vamos usar conceitos de movimento harmônico simples para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos focar num ponto fixo da corda, então $ x $ é constante. A função da posição desse ponto em função do tempo fica:
x
Queremos encontrar o tempo que leva para $ y(t) $ passar de $ +2, mm $ para $ -2, mm $.

Passo 3

Vamos achar os tempos $ t_1 $ e $ t_2 $ onde $ y(t) = +2, mm $ e $ y(t) = -2, mm $, respectivamente.
t1
t2
Dividindo ambos os lados das equações por 6:
y(t) = +2, mm
y(t) = -2, mm

Passo 4

Vamos resolver para $ t_1 $ e $ t_2 $:
t1
t2
Sabemos que $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, então:
570, t1 + phi = arcsin(13)

Passo 5

Subtraindo as duas equações para encontrar $ \Delta t = t_2 - t_1 $:
De
570, (t2 - t1) = -arcsin(13) - arcsin(13)
Como tempo não pode ser negativo, vamos considerar o valor absoluto:
570, De

Passo 6

Calculando $ \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $:
arcsin(13)
Agora substituímos na equação de $ \Delta t $:
arcsin(13) approx 0,3398, rad
De
De
De

Resposta

O ponto da corda leva aproximadamente 1,19 milissegundos para se mover de $ y = +2,0, mm $ para $ y = -2,0, mm $.

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