Se a função y(x, t) = (6 mm) sen[kx + (570 rad/s)t + ϕ] descreve uma onda que se propaga em uma corda, quanto tempo um ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos y = +2,0 mm e y = –2,0 mm.?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que descreve uma onda numa corda: $ y(x, t) = (6, mm) \cdot \sin(kx + 570, rad/s \cdot t + \phi) $. A pergunta é: quanto tempo um ponto nessa corda leva para se mover de $ y = +2,0, mm $ para $ y = -2,0, mm $? Vamos usar conceitos de movimento harmônico simples para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos focar num ponto fixo da corda, então $ x $ é constante. A função da posição desse ponto em função do tempo fica:
Queremos encontrar o tempo que leva para $ y(t) $ passar de $ +2, mm $ para $ -2, mm $.
Passo 3
Vamos achar os tempos $ t_1 $ e $ t_2 $ onde $ y(t) = +2, mm $ e $ y(t) = -2, mm $, respectivamente.
Dividindo ambos os lados das equações por 6:
Passo 4
Vamos resolver para $ t_1 $ e $ t_2 $:
Sabemos que $ \arcsin(-x) = -\arcsin(x) $, então:
Passo 5
Subtraindo as duas equações para encontrar $ \Delta t = t_2 - t_1 $:
Como tempo não pode ser negativo, vamos considerar o valor absoluto:
Passo 6
Calculando $ \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) $:
Agora substituímos na equação de $ \Delta t $:
Resposta
O ponto da corda leva aproximadamente 1,19 milissegundos para se mover de $ y = +2,0, mm $ para $ y = -2,0, mm $.