A função seno integral
Si(x)=integral0^x sen tt d t
é importante em engenharia elétrica. [O integrando f(t)=(sen t) / t não está definido quando t=0, mas sabemos que seu limite é 1 quando t 0. Logo, definimos f(0)=1 e isso faz de f uma função contínua em toda parte.]
Essa função tem assíntotas horizontais?

Passo 1

O enunciado define a função seno integral
Si(x)=integral0^xsin tt,dt,
e pergunta se ela possui assíntotas horizontais. Vamos usar o conceito de limite de função em xtopminfty e o valor conhecido da integral imprópria integral0^inftysin t/t,dt.

Passo 2

Uma reta y=L é assíntota horizontal de f(x) quando
limxtoinftyf(x)=L ou limxto-inftyf(x)=L
Portanto, precisamos calcular limxtoinftySi(x) e limxto-inftySi(x).

Passo 3

É um resultado clássico (integral de Dirichlet) que
integral0^inftysin tt,dt=pi2
Como Si(x) é exatamente essa integral cortada em x, segue
limxtoinftySi(x) =integral0^inftysin tt,dt =pi2

Passo 4

Para x<0, observe que o integrando sin t/t é função par, logo
Si(-x) =integral0^-xsin tt,dt =-integral0^xsin uu,du =-Si(x)
Assim,
limxto-inftySi(x) =-limutoinftySi(u) =-pi2

Passo 5

Portanto a função Si(x) tem duas assíntotas horizontais:
y=pi2 e y=-pi2

Resposta

Sim. As assíntotas horizontais são
y=pi2 (para xtoinfty)
e
y=-pi2 (para xto-infty)

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