Mostre que as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares podem ser escritas como:
partial upartial r=1r partial vpartial theta e partial upartial theta=-r partial vpartial r

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que as equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais na teoria das funções de variável complexa, podem ser escritas de uma forma diferente quando usamos coordenadas polares em vez das cartesianas. Para isso, vamos precisar entender como transformar as derivadas parciais de coordenadas cartesianas (x, y) para polares (r, theta).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas cartesianas se relacionam com as polares:
x = r cos theta y = r sin theta
E, inversamente:
r = raizx^2 + y^2 theta = arctan(yx)
Isso nos permite expressar qualquer função de x e y em termos de r e theta.

Passo 3

Agora, as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas são:
partial upartial x = partial vpartial y partial upartial y = -partial vpartial x
Nosso objetivo é reescrever essas equações usando derivadas parciais em relação a r e theta.

Passo 4

Para isso, precisamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Vamos expressar partial upartial x e partial upartial y em termos de partial upartial r e partial upartial theta:
partial upartial x = partial upartial r partial rpartial x + partial upartial theta partial thetapartial x partial upartial y = partial upartial r partial rpartial y + partial upartial theta partial thetapartial y
E as mesmas para v.

Passo 5

Calculando as derivadas necessárias:
partial rpartial x = xr = cos theta partial rpartial y = yr = sin theta partial thetapartial x = -yr^2 = -sin thetar partial thetapartial y = xr^2 = cos thetar

Passo 6

Substituindo essas derivadas nas expressões de partial upartial x e partial upartial y:
partial upartial x = partial upartial r cos theta - 1r partial upartial theta sin theta partial upartial y = partial upartial r sin theta + 1r partial upartial theta cos theta
E de forma similar para partial vpartial x e partial vpartial y.

Passo 7

Agora, aplicando as equações de Cauchy-Riemann:
partial upartial x = partial vpartial y partial upartial y = -partial vpartial x
Substituindo as expressões que obtivemos:
Primeira equação:
partial upartial r cos theta - 1r partial upartial theta sin theta = partial vpartial r sin theta + 1r partial vpartial theta cos theta
Segunda equação:
partial upartial r sin theta + 1r partial upartial theta cos theta = -( partial vpartial r cos theta - 1r partial vpartial theta sin theta )

Passo 8

Simplificando as equações:
Primeira equação:
partial upartial r cos theta - 1r partial upartial theta sin theta = partial vpartial r sin theta + 1r partial vpartial theta cos theta
Segunda equação:
partial upartial r sin theta + 1r partial upartial theta cos theta = -partial vpartial r cos theta + 1r partial vpartial theta sin theta

Passo 9

Agora, vamos reorganizar essas equações para isolar partial upartial r e partial upartial theta:
Somando as duas equações multiplicadas por cos theta e sin theta respectivamente, várias termos se cancelarão, permitindo resolver para partial upartial r e partial upartial theta.

Passo 10

Ao seguir os passos de álgebra, finalmente chegamos às equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares:
partial upartial r = 1r partial vpartial theta e partial upartial theta = -r partial vpartial r

Resposta

As equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são:
partial upartial r = 1r partial vpartial theta e partial upartial theta = -r partial vpartial r

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