Mostre que as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares podem ser escritas como:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que as equações de Cauchy-Riemann, que são fundamentais na teoria das funções de variável complexa, podem ser escritas de uma forma diferente quando usamos coordenadas polares em vez das cartesianas. Para isso, vamos precisar entender como transformar as derivadas parciais de coordenadas cartesianas
para polares
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como as coordenadas cartesianas se relacionam com as polares:
E, inversamente:
Isso nos permite expressar qualquer função de
e
em termos de
e
.
Passo 3
Agora, as equações de Cauchy-Riemann em coordenadas cartesianas são:
Nosso objetivo é reescrever essas equações usando derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 4
Para isso, precisamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais. Vamos expressar
e
em termos de
e
:
E as mesmas para
.
Passo 5
Calculando as derivadas necessárias:
Passo 6
Substituindo essas derivadas nas expressões de
e
:
E de forma similar para
e
.
Passo 7
Agora, aplicando as equações de Cauchy-Riemann:
Substituindo as expressões que obtivemos:
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 8
Simplificando as equações:
Primeira equação:
Segunda equação:
Passo 9
Agora, vamos reorganizar essas equações para isolar
e
:
Somando as duas equações multiplicadas por
e
respectivamente, várias termos se cancelarão, permitindo resolver para
e
.
Passo 10
Ao seguir os passos de álgebra, finalmente chegamos às equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares:
Resposta
As equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares são: