A função T: P_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T\left(a x^{2}+b x+c\right)=(a+b, a+c) é uma transformação linear.
Verdadeiro
Falso

Passo 1

O enunciado define uma aplicação
T\colon P_{2}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}^{2}
por
T\bigl(a x^{2}+b x+c\bigr) = (a+b,\;a+c).
O conteúdo é transformação linear, e precisamos verificar as duas propriedades fundamentais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Verificamos a aditividade. Sejam
p_{1}(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}, \quad p_{2}(x)=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}.
Então
p_{1}+p_{2} = (a_{1}+a_{2})x^{2} + (b_{1}+b_{2})x + (c_{1}+c_{2}),
e
T(p_{1}+p_{2}) = \bigl((a_{1}+a_{2}) + (b_{1}+b_{2}),\;(a_{1}+a_{2}) + (c_{1}+c_{2})\bigr).
Agrupando,
T(p_{1}+p_{2}) = (a_{1}+b_{1},\,a_{1}+c_{1}) + (a_{2}+b_{2},\,a_{2}+c_{2}) = T(p_{1}) + T(p_{2}).

Passo 3

Verificamos a homogeneidade. Para \alpha\in\mathbb{R} e
p(x)=a x^{2}+b x+c
temos
\alpha p = (\alpha a)x^{2} + (\alpha b)x + (\alpha c)
e
T(\alpha p) = (\alpha a + \alpha b,\;\alpha a + \alpha c) = \alpha\,(a+b,\;a+c) = \alpha\,T(p).

Resposta

Verdadeiro

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