Repita a questão anterior, considerando a função f(x, y)=0 se x y=0 e f(x, y)=1 em caso contrário. Mostre que f é limitada.

Passo 1

O enunciado define a função
Queremos mostrar que (f] é limitada. O conteúdo aqui é a definição de função limitada em análise de várias variáveis.

Passo 2

A definição de função limitada diz que existe M>0 tal que
lvert f(x,y)rvert <= M para todo (x,y)inR^2
Nosso objetivo é encontrar um M que sirva para todos os pontos do domínio.

Passo 3

Observamos que a imagem de f é o conjunto 0,1. Logo, para todo (x,y),
f(x,y)=0ou f(x,y)=1,
de onde
lvert f(x,y)rvert = 0 ou lvert f(x,y)rvert = 1

Passo 4

Basta então escolher M=1. De fato, para todo (x,y)inR^2 vale
lvert f(x,y)rvert <= 1,
mostrando que f é limitada.

Resposta

A função f é limitada, pois 0<= f(x,y)<=1 para todo (x,y), de modo que podemos tomar M=1.

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