A função vetorial
é contínua em
? É possível definir
no ponto
de forma que a função resultante seja contínua em
?
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial
e pergunta se ela é contínua em
e se podemos definir
de modo a torná-la contínua ali. O conteúdo aqui é continuidade de funções vetoriais, domínio e extensão por continuidade.
Passo 2
Primeiro, observamos que o termo
só está definido para
. Para
podemos simplificar
logo, para
Como cada componente (
,
,
) é contínua em todo
, concluímos que
é contínua em todos os pontos
.
Passo 3
Em
, a função original não está definida por causa de
. Logo, no formato atual,
não é contínua em
simplesmente porque não existe
.
Passo 4
Para decidir se é possível estender
de modo contínuo em
, calculamos o limite
Como esse limite existe e é finito, podemos definir
para que a função estendida seja contínua em
.
Resposta
Não,
não é contínua em
porque ali não está definida. Porém, se definirmos
a função resultante passa a ser contínua em
.