A função vetorial F(t)=(t^2-tt, t, e^t) é contínua em t=0 ? É possível definir F(t) no ponto t=0 de forma que a função resultante seja contínua em t=0 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial
F(t)=l(t^2-tt,;t,;e^tr)
e pergunta se ela é contínua em t=0 e se podemos definir F(0) de modo a torná-la contínua ali. O conteúdo aqui é continuidade de funções vetoriais, domínio e extensão por continuidade.

Passo 2

Primeiro, observamos que o termo t^2-tt só está definido para tneq0. Para tneq0 podemos simplificar
t^2-tt = t - 1,
logo, para tneq0
F(t) = l(t-1,;t,;e^tr)
Como cada componente ( t-1, t, e^t) é contínua em todo R, concluímos que F é contínua em todos os pontos tneq0.

Passo 3

Em t=0, a função original não está definida por causa de t^2-tt. Logo, no formato atual, F não é contínua em t=0 simplesmente porque não existe F(0).

Passo 4

Para decidir se é possível estender F de modo contínuo em 0, calculamos o limite
limtto0F(t) =limtto0l(t-1,;t,;e^tr) =l(-1,;0,;1r)
Como esse limite existe e é finito, podemos definir
F(0) = (-1,0,1)
para que a função estendida seja contínua em t=0.

Resposta

Não, F(t) não é contínua em t=0 porque ali não está definida. Porém, se definirmos
F(0)=(-1,0,1),
a função resultante passa a ser contínua em t=0.

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