Um terreno retangular tem área de
e deve ser cercado da seguinte maneira: dois lados opostos devem receber uma cerca reforçada que custa
300,00
R $200,00$ o metro.
Se o custo, além de envolver as cercas, também envolver plantação de grama, custando R$ 4,000 metro quadrado de grama, qual será o custo considerando a cerca e a grama?
Se o custo, além de envolver as cercas, também envolver plantação de grama, custando R$ 4,000 metro quadrado de grama, qual será o custo considerando a cerca e a grama?
Passo 1
O problema é de otimização: temos um terreno retangular de área
. Dois lados opostos terão cerca reforçada a R$
por metro e os outros dois lados cerca padrão a R$
por metro. Além disso, todo o interior será gramado a R$
por metro quadrado. Queremos escolher as dimensões que minimizam o custo total (cerca
grama).
Passo 2
Seja
o comprimento dos lados que recebem cerca reforçada e
o comprimento dos lados que recebem cerca padrão.
A condição de área é
A condição de área é
O custo da grama é fixo:
O custo da cerca é
Passo 3
Usando
, o custo total em função de
fica
Passo 4
Para minimizar, derivamos e igualamos a zero:
Passo 5
Então
O custo mínimo da cerca é
Somando a grama:
Resposta
O custo mínimo total é aproximadamente R$
.