Um terreno retangular tem área de e deve ser cercado da seguinte maneira: dois lados opostos devem receber uma cerca reforçada que custa 300,00 ãR $200,00$ o metro.
Se o custo, além de envolver as cercas, também envolver plantação de grama, custando R$ 4,000 metro quadrado de grama, qual será o custo considerando a cerca e a grama?

Passo 1

O problema é de otimização: temos um terreno retangular de área 200 m^2. Dois lados opostos terão cerca reforçada a R$ (300,00) por metro e os outros dois lados cerca padrão a R por metro e os outros dois lados cerca padrão a R$ 200,00 por metro. Além disso, todo o interior será gramado a R$ 4,00 por metro quadrado. Queremos escolher as dimensões que minimizam o custo total (cerca + grama).

Passo 2

Seja x o comprimento dos lados que recebem cerca reforçada e y o comprimento dos lados que recebem cerca padrão.
A condição de área é
x,y = 200
O custo da grama é fixo:
Crm grama = 4 times 200 = 800 (R$)
O custo da cerca é
Crm cerca = 2cdot300,x + 2cdot200,y = 600,x + 400,y

Passo 3

Usando y = 200/x, o custo total em função de x fica
C(x) = 600,x + 400,200x + 800 = 600,x + 80,000x + 800

Passo 4

Para minimizar, derivamos e igualamos a zero:
C'(x) = 600 - 80,000x^2 Longrightarrow 600 = 80,000x^2 Longrightarrow x^2 = 80,000600 = 4003 Longrightarrow x = 20raiz3 (approx11,55 m)

Passo 5

Então
y = 200x = 20020/raiz3 = 10raiz3 (approx17,32 m)
O custo mínimo da cerca é
600,x + 400,y = 60020raiz3 + 400,(10raiz3) = 4000raiz3 + 4000raiz3 = 8000raiz3 approx13,856,6
Somando a grama:
Cmin = 8000raiz3 + 800 approx 13,856,6 + 800 = 14,656,6

Resposta

O custo mínimo total é aproximadamente R$ 14656,60.

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