1. Scja f: R^2 R a função definida por f(x, y)=a x^2+b x y+c y^2. Demonstre que:
    a) f(t X)=t^2 f(X), para t in R in X in R^2;
    b) f^prime(X)(Y)=f^prime(Y)(X);
    c) f^prime(X)(X)=2 f(X);
    d) f(X+Y)=f(X)+f^prime(X)(Y)+f(Y).

Passo 1

O enunciado define a função f:R^2toR por f(x,y)=a x^2 + b x y + c y^2. O conteúdo da matéria envolve formas quadráticas e diferencial de funções de várias variáveis. Vamos usar derivadas parciais, gradiente e a noção de diferencial como aplicação linear para demonstrar cada propriedade.

Passo 2

Para a) armazenamos X=(x,y) e calculamos f(tX)=f(tx,ty). Substituindo na definição de f:
$$
f(tx,ty)=a(tx)2+b(tx)(ty)+c(ty)2= t^2\bigl(a x^2 + b x y + c y2\bigr)=t2 f(x,y).$$
Logo f(tx,ty)=a(tx)^2+b(tx)(ty)+c(ty)^2= t^2l(a x^2 + b x y + c y^2r)=t^2 f(x,y).

Passo 3

Antes de provar b) e c), vamos obter o diferencial. Calculamos as derivadas parciais:
partial fpartial x(x,y)=2ax + b y, partial fpartial y(x,y)=b x + 2c y
Assim, para X=(x,y) e Y=(h,k),
f'(X)(Y)=nabla f(X)cdot Y=(2ax+by),h+(bx+2cy),k

Passo 4

Para b) comparamos f'(X)(Y)=(2ax+by)h+(bx+2cy)k com f'(Y)(X), que é obtido trocando (x,y)rightarrow(h,k). Ao expandir, vemos que cada termo coincide (por comutatividade de produtos), de modo que
f'(X)(Y)=f'(Y)(X)

Passo 5

Para c) basta tomar Y=X=(x,y) na expressão de f'(X)(Y):
f'(X)(X)=(2ax+by)x+(bx+2cy)y=2ax^2+2bxy+2cy^2=2l(a x^2+bxy+cy^2r)=2f(X)

Passo 6

Para d) escrevemos X+Y=(x+h,y+k) e expandimos:
f(X+Y)=a(x+h)^2+b(x+h)(y+k)+c(y+k)^2
Ao desenvolver os quadrados e produtos, agrupamos termos de ordem zero em (h,k) (que formam f(X)), de ordem um (que formam f'(X)(Y)) e de ordem dois (que formam f(Y)). Assim,
f(X+Y)=f(X)+f'(X)(Y)+f(Y)

Resposta

a) f(tX)=t^2f(X).
b) f'(X)(Y)=f'(Y)(X).
c) f'(X)(X)=2f(X).
d) f(X+Y)=f(X)+f'(X)(Y)+f(Y).

Exercícios relacionados