- Scja
a função definida por
. Demonstre que:
a)
, para
;
b)
;
c)
;
d)
.
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado define a função
por
. O conteúdo da matéria envolve formas quadráticas e diferencial de funções de várias variáveis. Vamos usar derivadas parciais, gradiente e a noção de diferencial como aplicação linear para demonstrar cada propriedade.
Passo 2
Para a) armazenamos
e calculamos
. Substituindo na definição de
:
$$
f(tx,ty)=a(tx)2+b(tx)(ty)+c(ty)2= t^2\bigl(a x^2 + b x y + c y2\bigr)=t2 f(x,y).$$
Logo .
Logo
Passo 3
Antes de provar b) e c), vamos obter o diferencial. Calculamos as derivadas parciais:
Assim, para
e
,
Passo 4
Para b) comparamos
com
, que é obtido trocando
. Ao expandir, vemos que cada termo coincide (por comutatividade de produtos), de modo que
Passo 5
Para c) basta tomar
na expressão de
:
Passo 6
Para d) escrevemos
e expandimos:
Ao desenvolver os quadrados e produtos, agrupamos termos de ordem zero em
(que formam
), de ordem um (que formam
) e de ordem dois (que formam
). Assim,
Resposta
a)
.
b) .
c) .
d) .
b)
c)
d)