Uma solução de equilíbrio para uma EDO y^prime=f(x, y) é uma função constante, phi=c, que satisfaz f(x, c)=0. Encontre todas as solucões de equilíbrio da equação y^prime=y^2-1 e em seguida resolva o PVI
y^prime=y^2-1, y(0)=-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar soluções de equilíbrio para a equação diferencial ordinária (EDO) e depois resolver um problema de valor inicial. Para isso, vamos usar conceitos de equilibrios em EDOs e métodos para resolver equações diferenciais de primeira ordem. Precisa sacarmos as soluções constantes onde e depois resolver a EDO com a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar todas as soluções de equilíbrio. Uma solução de equilíbrio é uma função constante 0 = c^2 - 1 que satisfaz . Então, substituímos na equação:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para c^2 - 1 = 0 c^2 = 1 c = pm 1 :
Então, as soluções de equilíbrio são e .

Passo 4

Agora, vamos resolver o problema de valor inicial (PVI):
y' = y^2 - 1, y(0) = -1
Esse é um tipo de EDO que podemos resolver separando as variáveis. Queremos isolar de um lado e do outro.

Passo 5

Separamos as variáveis:
dydx = y^2 - 1 Rightarrow dyy^2 - 1 = dx

Passo 6

Agora, vamos integrar os dois lados. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais:
integral 1y^2 - 1 , dy = integral dx
Sabemos que 1y^2 - 1 = 12 ( 1y - 1 - 1y + 1 ) , então podemos escrever:
12 ln | y - 1y + 1 | = x + C
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos simplificar e resolver para ln | y - 1y + 1 | = 2x + C' . Multiplicando ambos os lados por 2:
y - 1y + 1 = Ce^2x
Onde . Podemos remover o valor absoluto considerando diferentes casos, e reescrever como simplesmente :

Passo 8

Agora, resolvemos para y - 1 = Ce^2x(y + 1) y - Ce^2xy = Ce^2x + 1 y(1 - Ce^2x) = Ce^2x + 1 y = Ce^2x + 11 - Ce^2x :

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial -1 = C + 11 - C -1(1 - C) = C + 1 -1 + C = C + 1 -1 -1 = C - C -2 = 0 :
Isso não faz sentido, o que nos indica que a constante vai ao infinito, ou seja, estamos na solução de equilíbrio.

Passo 10

Como a condição inicial é uma das soluções de equilíbrio que encontramos, a solução é simplesmente para todo .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é para todo .

Exercícios relacionados