Uma solução de equilíbrio para uma EDO é uma função constante, , que satisfaz . Encontre todas as solucões de equilíbrio da equação e em seguida resolva o PVI
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar soluções de equilíbrio para a equação diferencial ordinária (EDO) e depois resolver um problema de valor inicial. Para isso, vamos usar conceitos de equilibrios em EDOs e métodos para resolver equações diferenciais de primeira ordem. Precisa sacarmos as soluções constantes onde e depois resolver a EDO com a condição inicial .
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar todas as soluções de equilíbrio. Uma solução de equilíbrio é uma função constante que satisfaz . Então, substituímos na equação:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para :
Então, as soluções de equilíbrio são e .
Passo 4
Agora, vamos resolver o problema de valor inicial (PVI):
Esse é um tipo de EDO que podemos resolver separando as variáveis. Queremos isolar de um lado e do outro.
Passo 5
Separamos as variáveis:
Passo 6
Agora, vamos integrar os dois lados. A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando frações parciais:
Sabemos que , então podemos escrever:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos simplificar e resolver para ln | y - 1y + 1 | = 2x + C' . Multiplicando ambos os lados por 2:
y - 1y + 1 = Ce^2x
Onde . Podemos remover o valor absoluto considerando diferentes casos, e reescrever como simplesmente :
Passo 8
Agora, resolvemos para y - 1 = Ce^2x(y + 1) y - Ce^2xy = Ce^2x + 1 y(1 - Ce^2x) = Ce^2x + 1 y = Ce^2x + 11 - Ce^2x :
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial -1 = C + 11 - C -1(1 - C) = C + 1 -1 + C = C + 1 -1 -1 = C - C -2 = 0 :
Isso não faz sentido, o que nos indica que a constante vai ao infinito, ou seja, estamos na solução de equilíbrio.
Passo 10
Como a condição inicial é uma das soluções de equilíbrio que encontramos, a solução é simplesmente para todo .
Resposta
A solução do problema de valor inicial é para todo .