Nas funçōes abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos (1,4) e (-3,2)
f(x, y)=raiz2 x^2-32 x^2 y^3+x

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem da função
f(x,y)=raiz2,x^2-tfrac32x^2y^3+x
e que as avalie nos pontos (1,4) e (-3,2). Vamos usar as regras de derivação para polinômios em x e y.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de primeira ordem:
fx(x,y) =partialpartial xl(raiz2,x^2-tfrac32x^2y^3+xr) =2raiz2,x-3x,y^3+1
fy(x,y) =partialpartial yl(raiz2,x^2-tfrac32x^2y^3+xr) =-tfrac92x^2y^2

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx(x,y) =partialpartial xl(2raiz2,x-3x,y^3+1r) =2raiz2-3y^3
fxy(x,y) =partialpartial yl(2raiz2,x-3x,y^3+1r) =-9x,y^2
fyy(x,y) =partialpartial yl(-tfrac92x^2y^2r) =-9x^2y

Passo 4

Avaliar em (1,4):
fx(1,4)=2raiz2cdot1-3cdot1cdot4^3+1 =2raiz2-192+1 =2raiz2-191
fy(1,4)=-tfrac92cdot1^2cdot4^2=-72
fxx(1,4)=2raiz2-3cdot4^3=2raiz2-192
fxy(1,4)=-9cdot1cdot4^2=-144
fyy(1,4)=-9cdot1^2cdot4=-36

Passo 5

Avaliar em (-3,2):
fx(-3,2)=2raiz2,(-3)-3(-3),2^3+1 =-6raiz2+72+1 =-6raiz2+73
fy(-3,2)=-tfrac92cdot(-3)^2cdot2^2=-162
fxx(-3,2)=2raiz2-3cdot2^3=2raiz2-24
fxy(-3,2)=-9cdot(-3)cdot2^2=108
fyy(-3,2)=-9cdot(-3)^2cdot2=-162

Resposta

Em (1,4):
fx=2raiz2-191, fy=-72, fxx=2raiz2-192, fxy=-144, fyy=-36
Em (-3,2):
fx=-6raiz2+73, fy=-162, fxx=2raiz2-24, fxy=108, fyy=-162

Exercícios relacionados