Nas funçōes abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos (1,4) e (-3,2)
f(x, y)=sen(5 x^2)+4 x y^3+y-x^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, y) = sin(5x^2) + 4xy^3 + y - x^3 nos pontos (1, 4) e (-3, 2). Para isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais e aplicar algumas regras básicas de derivação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, partial fpartial x e partial fpartial y.
Derivada parcial em relação a x:
partial fpartial x = ddx [sin(5x^2)] + ddx [4xy^3] + ddx [y] - ddx [x^3]
Calculando cada termo:
  • ddx [sin(5x^2)] = 10x cos(5x^2) (usando a regra da cadeia)
  • ddx [4xy^3] = 4y^3 (pois y é tratado como constante)
  • ddx [y] = 0 (constante em relação a x)
  • ddx [x^3] = 3x^2
Então:
partial fpartial x = 10x cos(5x^2) + 4y^3 - 3x^2
Derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y = ddy [sin(5x^2)] + ddy [4xy^3] + ddy [y] - ddy [x^3]
Calculando cada termo:
  • ddy [sin(5x^2)] = 0 (constante em relação a y)
  • ddy [4xy^3] = 12xy^2
  • ddy [y] = 1
  • ddy [x^3] = 0 (constante em relação a y)
Então:
partial fpartial y = 12xy^2 + 1

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem: partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial y^2, e as mistas partial^2 fpartial x partial y e partial^2 fpartial y partial x.
Segunda derivada parcial em relação a x:
partial^2 fpartial x^2 = ddx (10x cos(5x^2) + 4y^3 - 3x^2)
Calculando cada termo:
  • ddx [10x cos(5x^2)] = 10 cos(5x^2) - 100x^2 sin(5x^2) (usando a regra do produto e da cadeia)
  • ddx [4y^3] = 0 (constante em relação a x)
  • ddx [-3x^2] = -6x
Então:
partial^2 fpartial x^2 = 10 cos(5x^2) - 100x^2 sin(5x^2) - 6x
Segunda derivada parcial em relação a y:
partial^2 fpartial y^2 = ddy (12xy^2 + 1) = 24xy
Derivadas mistas:
partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y (10x cos(5x^2) + 4y^3 - 3x^2) = 12y^2
partial^2 fpartial y partial x = partialpartial x (12xy^2 + 1) = 12y^2
Observamos que partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x, o que é sempre verdadeiro devido à igualdade das derivadas mistas.

Passo 4

Agora, vamos substituir os pontos (1, 4) e (-3, 2) nas derivadas que encontramos para calcular os valores específicos.
Para o ponto (1, 4):
  • Primeiras Derivadas:
partial fpartial x = 10(1) cos(5(1)^2) + 4(4)^3 - 3(1)^2 = 10 cos(5) + 256 - 3
partial fpartial y = 12(1)(4)^2 + 1 = 192 + 1 = 193
  • Segundas Derivadas:
partial^2 fpartial x^2 = 10 cos(5) - 100(1)^2 sin(5) - 6(1) = 10 cos(5) - 100 sin(5) - 6
partial^2 fpartial y^2 = 24(1)(4) = 96
partial^2 fpartial x partial y = 12(4)^2 = 192
Para o ponto (-3, 2):
  • Primeiras Derivadas:
partial fpartial x = 10(-3) cos(5(-3)^2) + 4(2)^3 - 3(-3)^2 = -30 cos(45) + 32 - 27
partial fpartial y = 12(-3)(2)^2 + 1 = -144 + 1 = -143
  • Segundas Derivadas:
partial^2 fpartial x^2 = 10 cos(45) - 100(-3)^2 sin(45) - 6(-3) = 10 cos(45) - 900 sin(45) + 18
partial^2 fpartial y^2 = 24(-3)(2) = -144
partial^2 fpartial x partial y = 12(2)^2 = 48

Resposta

Após calcular, as derivadas parciais de primeira e segunda ordem nos pontos solicitados são:
  • No ponto (1, 4):
partial fpartial x approx 255.84, partial fpartial y = 193
partial^2 fpartial x^2 approx 92.73, partial^2 fpartial y^2 = 96, partial^2 fpartial x partial y = 192
  • No ponto (-3, 2):
partial fpartial x approx -10.76, partial fpartial y = -143
partial^2 fpartial x^2 approx -742.56, partial^2 fpartial y^2 = -144, partial^2 fpartial x partial y = 48

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