Nas funçōes abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos (1,4) e (-3,2)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
nos pontos
e
. Para isso, vamos precisar conhecer como calcular derivadas parciais e aplicar algumas regras básicas de derivação.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Calculando cada termo:
-
(usando a regra da cadeia) -
(pois é tratado como constante) -
(constante em relação a ) -
Então:
Derivada parcial em relação a
:
Calculando cada termo:
-
(constante em relação a ) -
-
-
(constante em relação a )
Então:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem:
,
, e as mistas
e
.
Segunda derivada parcial em relação a
:
Calculando cada termo:
-
(usando a regra do produto e da cadeia) -
(constante em relação a ) -
Então:
Segunda derivada parcial em relação a
:
Derivadas mistas:
Observamos que
, o que é sempre verdadeiro devido à igualdade das derivadas mistas.
Passo 4
Agora, vamos substituir os pontos
e
nas derivadas que encontramos para calcular os valores específicos.
Para o ponto
:
- Primeiras Derivadas:
- Segundas Derivadas:
Para o ponto
:
- Primeiras Derivadas:
- Segundas Derivadas:
Resposta
Após calcular, as derivadas parciais de primeira e segunda ordem nos pontos solicitados são:
- No ponto
:
- No ponto
: