Nas funçōes abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos (1,4) e (-3,2)
f(x, y)=5 x^2-6 x y^3+2 y+123

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=5x^2-6xy^3+2y+123
e pede as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos (1,4) e (-3,2). Vamos usar regras básicas de diferenciação parcial: tratamos uma variável como constante enquanto derivamos em relação à outra.

Passo 2

Calculamos primeiro as derivadas parciais de primeira ordem de forma geral:
fx(x,y) =partialpartial xl(5x^2-6xy^3+2y+123r) =10x-6y^3,
fy(x,y) =partialpartial yl(5x^2-6xy^3+2y+123r) =-18xy^2+2

Passo 3

Agora as derivadas parciais de segunda ordem:
fxx(x,y) =partialpartial xl(10x-6y^3r) =10,
fxy(x,y) =partialpartial yl(10x-6y^3r) =-18y^2,
fyy(x,y) =partialpartial yl(-18xy^2+2r) =-36xy

Passo 4

Avaliando em (1,4):
fx(1,4)=10cdot1-6cdot4^3=10-6cdot64=10-384=-374,
fy(1,4)=-18cdot1cdot4^2+2=-18cdot16+2=-288+2=-286,
fxx(1,4)=10, fxy(1,4)=-18cdot4^2=-18cdot16=-288, fyy(1,4)=-36cdot1cdot4=-144

Passo 5

Avaliando em (-3,2):
fx(-3,2)=10cdot(-3)-6cdot2^3=-30-6cdot8=-30-48=-78,
fy(-3,2)=-18cdot(-3)cdot2^2+2=54cdot4+2=216+2=218,
fxx(-3,2)=10, fxy(-3,2)=-18cdot2^2=-18cdot4=-72, fyy(-3,2)=-36cdot(-3)cdot2=216

Resposta

Em (1,4):
,fx=-374,;fy=-286,;fxx=10,;fxy=-288,;fyy=-144
Em (-3,2):
,fx=-78,;fy=218,;fxx=10,;fxy=-72,;fyy=216

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