e pergunta por que as derivadas mistas em (0,0) não coincidem. Vamos calcular partial f/partial x e partial f/partial y em (0,0) e em seguida partial^2f/partial ypartial xl(0,0r) e partial^2f/partial xpartial yl(0,0r).]
Passo 2
Calcular fx(0,0)=partial fpartial x(0,0) e fy(0,0)=partial fpartial y(0,0) pelo limite de diferença:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
pois f(h,0)=0. De modo análogo,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0
Passo 3
Calcular fxy(0,0)=partialpartial yl(fxr)(0,0).
Primeiro obtemos fx(0,k) para kneq0:
ou seja, as derivadas mistas existem mas são diferentes.
Passo 6
O teorema de Schwarz garante fxy=fyx se as derivadas segundas forem contínuas num entorno de (0,0). Aqui ambas existem em (0,0) porém não são contínuas ao redor de (0,0), de modo que a condição do teorema falha e as derivadas mistas não precisam coincidir.
Resposta
fxy(0,0)=-1 e fyx(0,0)=1. As derivadas mistas não são iguais porque as derivadas segundas não são contínuas em um entorno de (0,0), violando a hipótese do teorema de igualdade de derivadas mistas.