Seja
f(x, y)= x y(x^2-y^2) /(x^2+y^2) & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
O que aconteceu? Porque as derivadas mistas não são iguais?

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= dfracx,y,(x^2-y^2)x^2+y^2,&se (x,y)neq(0,0),[1em] 0,&se (x,y)=(0,0),
e pergunta por que as derivadas mistas em (0,0) não coincidem. Vamos calcular
partial f/partial x e partial f/partial y em (0,0) e em seguida
partial^2f/partial ypartial xl(0,0r) e partial^2f/partial xpartial yl(0,0r).]

Passo 2

Calcular fx(0,0)=partial fpartial x(0,0) e
fy(0,0)=partial fpartial y(0,0) pelo limite de diferença:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h=0,
pois f(h,0)=0. De modo análogo,
fy(0,0)=limkto0f(0,k)-f(0,0)k =limkto00-0k=0

Passo 3

Calcular fxy(0,0)=partialpartial yl(fxr)(0,0).
Primeiro obtemos fx(0,k) para kneq0:
fx(0,k) =limhto0f(h,k)-f(0,k)h =limhto0h,k,(h^2-k^2)/(h^2+k^2)h =limhto0k,(h^2-k^2)h^2+k^2 =-k
Então
fxy(0,0) =limkto0fx(0,k)-fx(0,0)k =limkto0-k-0k=-1

Passo 4

Calcular fyx(0,0)=partialpartial xl(fyr)(0,0).
Primeiro obtemos fy(h,0) para hneq0:
fy(h,0) =limkto0f(h,k)-f(h,0)k =limkto0h,k,(h^2-k^2)/(h^2+k^2)k =limkto0h,(h^2-k^2)h^2+k^2 =h
Então
fyx(0,0) =limhto0fy(h,0)-fy(0,0)h =limhto0h-0h=1

Passo 5

Concluímos que
fxy(0,0)=-1 e fyx(0,0)=1,
ou seja, as derivadas mistas existem mas são diferentes.

Passo 6

O teorema de Schwarz garante fxy=fyx se as derivadas segundas forem contínuas num entorno de (0,0). Aqui ambas existem em (0,0) porém não são contínuas ao redor de (0,0), de modo que a condição do teorema falha e as derivadas mistas não precisam coincidir.

Resposta

fxy(0,0)=-1 e fyx(0,0)=1. As derivadas mistas não são iguais porque as derivadas segundas não são contínuas em um entorno de (0,0), violando a hipótese do teorema de igualdade de derivadas mistas.

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