Marque Falso ou Verdadeiro em cada uma das sentenças. Justifique as afirmações falsas com um contraexemplo.
Se lim n infty an=0, então sumn=1^infty an converge. (F)

Passo 1

O enunciado afirma que “se limntoinftyan=0, então a série sumn=1^infty an converge”. Aqui o conteúdo é séries numéricas. Sabemos como condição necessária para convergência de uma série que, se
sumn=1^infty an
converge, então obrigatoriamente
limntoinftyan=0
Mas essa condição não é suficiente: o fato de anto0 não garante que o somatório convirja.

Passo 2

Vamos dar um contraexemplo clássico: tome
an = 1n
Então claramente
limntoinftyan = limntoinfty1n=0
Porém a série
sumn=1^infty 1n
é a série harmônica, que é conhecida por divergir. Uma justificativa via teste da integral é notar que
integral1^Ndxx = ln Ntoinfty
quando Ntoinfty, e portanto as somas parciais de sum 1/n crescem sem limite.

Resposta

Falso. Um contraexemplo é an=1/n, pois limntoinfty1/n=0 mas sumn=1^infty 1/n diverge.

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