Nas funçōes abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos (1,4) e (-3,2)
f(x, y)=e^3 x+2 y-5 x^2-7 x y+2 y^3+12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, y) = e^3x + 2y - 5x^2 - 7xy + 2y^3 + 12 nos pontos (1, 4) e (-3, 2). Isso envolve cálculo diferencial multivariável, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar lembrar como derivar funções de várias variáveis em relação a cada variável mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, fx e fy .
Para fx , derivamos em relação a x , tratando y como constante:
fx = partial fpartial x = 3e^3x + 2y - 10x - 7y
Para fy , derivamos em relação a y , tratando x como constante:
fy = partial fpartial y = 2e^3x + 2y - 7x + 6y^2

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Precisamos encontrar fxx , fxy , fyy a partir das derivadas de primeira ordem.
Para fxx , derivamos fx em relação a x :
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 9e^3x + 2y - 10
Para fxy , derivamos fx em relação a y :
fxy = partial^2 fpartial y partial x = 6e^3x + 2y - 7
Para fyy , derivamos fy em relação a y :
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 4e^3x + 2y + 12y

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas, vamos avaliar cada uma delas nos pontos (1, 4) e (-3, 2).
Para o ponto (1, 4):
Calculando fx :
fx(1, 4) = 3e^3(1) + 2(4) - 10(1) - 7(4) = 3e^11 - 10 - 28 = 3e^11 - 38
Calculando fy :
fy(1, 4) = 2e^11 - 7(1) + 6(4)^2 = 2e^11 - 7 + 96 = 2e^11 + 89
Calculando fxx :
fxx(1, 4) = 9e^11 - 10
Calculando fxy :
fxy(1, 4) = 6e^11 - 7
Calculando fyy :
fyy(1, 4) = 4e^11 + 12(4) = 4e^11 + 48
Para o ponto (-3, 2):
Calculando fx :
fx(-3, 2) = 3e^3(-3) + 2(2) - 10(-3) - 7(2) = 3e^-5 + 30 - 14 = 3e^-5 + 16
Calculando fy :
fy(-3, 2) = 2e^-5 - 7(-3) + 6(2)^2 = 2e^-5 + 21 + 24 = 2e^-5 + 45
Calculando fxx :
fxx(-3, 2) = 9e^-5 - 10
Calculando fxy :
fxy(-3, 2) = 6e^-5 - 7
Calculando fyy :
fyy(-3, 2) = 4e^-5 + 12(2) = 4e^-5 + 24

Resposta

As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função f(x, y) nos pontos (1, 4) e (-3, 2) são:
No ponto (1, 4):
fx = 3e^11 - 38 fy = 2e^11 + 89 fxx = 9e^11 - 10 fxy = 6e^11 - 7 fyy = 4e^11 + 48
No ponto (-3, 2):
fx = 3e^-5 + 16 fy = 2e^-5 + 45 fxx = 9e^-5 - 10 fxy = 6e^-5 - 7 fyy = 4e^-5 + 24

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