Nas funçōes abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem nos pontos (1,4) e (-3,2)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
nos pontos
e
. Isso envolve cálculo diferencial multivariável, especificamente derivadas parciais. Vamos precisar lembrar como derivar funções de várias variáveis em relação a cada variável mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
.
Para
, derivamos em relação a
, tratando
como constante:
Para
, derivamos em relação a
, tratando
como constante:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem. Precisamos encontrar
,
,
a partir das derivadas de primeira ordem.
Para
, derivamos
em relação a
:
Para
, derivamos
em relação a
:
Para
, derivamos
em relação a
:
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas, vamos avaliar cada uma delas nos pontos
e
.
Para o ponto (1, 4):
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Para o ponto (-3, 2):
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Calculando
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
nos pontos
e
são:
No ponto (1, 4):
No ponto (-3, 2):