Para as funções abaixo,
a) determine a equação da reta tangente em cada um dos pontos dados.
b) existe algum ponto em que a reta tangente ao gráfico é horizontal?
c) Opcional: faça um esboço do gráfico e das retas tangentes calculadas no item (a). Pode ser feito com o auxílio do computador, usando um software de computação científica, tipo Geogebra.
f(x)=\frac{6 x}{x^{2}-3 x+2}, pontos \mathrm{x}=0 e \mathrm{x}=4.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\frac{6x}{x^2-3x+2}
e pede em (a) as retas tangentes nos pontos x=0 e x=4, em (b) se existe ponto de tangente horizontal, e em (c) um esboço opcional. O conteúdo principal é derivada de quociente e equação de reta tangente.

Passo 2

Vamos calcular f'(x) pela regra do quociente. Seja
u(x)=6x,\quad v(x)=x^2-3x+2\quad\Longrightarrow\quad u'(x)=6,\;v'(x)=2x-3.
Então
f'(x) =\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{[v(x)]^2} =\frac{6(x^2-3x+2)-6x(2x-3)}{(x^2-3x+2)^2} =\frac{-6x^2+12}{(x^2-3x+2)^2}.

Passo 3

Em x=0 temos
f(0)=\frac{6\cdot0}{0^2-3\cdot0+2}=0, \qquad f'(0)=\frac{-6\cdot0^2+12}{2^2}=\frac{12}{4}=3.
A reta tangente em x=0 satisfaz
y-0=3\,(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y=3x.

Passo 4

Em x=4 obtemos
f(4)=\frac{6\cdot4}{4^2-3\cdot4+2}=\frac{24}{16-12+2}=\frac{24}{6}=4,
f'(4)=\frac{-6\cdot4^2+12}{6^2}=\frac{-96+12}{36}=\frac{-84}{36}=-\frac{7}{3}.
A reta tangente em x=4 satisfaz
y-4=-\frac{7}{3}(x-4) \quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{7}{3}x+\frac{40}{3}.

Passo 5

A reta tangente é horizontal quando f'(x)=0. Da expressão
f'(x)=\frac{-6x^2+12}{(x^2-3x+2)^2}=0
vem -6x^2+12=0, ou seja x^2=2, logo
x=\pm\sqrt{2},
que estão no domínio da função. Nesses pontos a inclinação da tangente é zero.

Resposta

(a) Em x=0: y=3x.
Em x=4: y=-\tfrac{7}{3}x+\tfrac{40}{3}.
(b) Sim: as tangentes são horizontais em x=\pm\sqrt{2}.
(c) Esboço não apresentado (opcional).

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