Para as funções abaixo,
a) determine a equação da reta tangente em cada um dos pontos dados.
b) existe algum ponto em que a reta tangente ao gráfico é horizontal?
c) Opcional: faça um esboço do gráfico e das retas tangentes calculadas no item (a). Pode ser feito com o auxílio do computador, usando um software de computação científica, tipo Geogebra.
f(x)=8 e^{x / 2}, pontos x=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede, para a função
f(x)=8e^{x/2},
a) as equações das retas tangentes nos pontos com x=0 e x=1;
b) verificar se existe ponto em que a reta tangente seja horizontal;
c) opcionalmente esboçar o gráfico e as tangentes.
O conteúdo envolvido é derivação e equação de reta tangente a um gráfico.

Passo 2

Para obter a reta tangente precisamos da derivada
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(8e^{x/2}\bigr) =8\cdot\frac12\,e^{x/2} =4e^{x/2}.

Passo 3

No ponto x=0 temos
f(0)=8e^{0}=8, \quad f'(0)=4e^{0}=4.
A reta tangente usa a forma
y - f(0) = f'(0)\,(x-0),
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y-8=4x \quad\Longrightarrow\quad y=4x+8.

Passo 4

No ponto x=1 temos
f(1)=8e^{1/2}=8\sqrt{e}, \quad f'(1)=4e^{1/2}=4\sqrt{e}.
Aplicando a forma da reta tangente:
y - 8\sqrt{e}=4\sqrt{e}\,(x-1) \quad\Longrightarrow\quad y=4\sqrt{e}\,x + \bigl(8\sqrt{e}-4\sqrt{e}\bigr) =4\sqrt{e}\,x+4\sqrt{e}.

Passo 5

A reta tangente é horizontal quando f'(x)=0. Mas
f'(x)=4e^{x/2}>0
para todo x, pois a exponencial nunca zera. Logo não há reta tangente horizontal.

Resposta

a) Em x=0: y=4x+8.
Em x=1: y=4\sqrt{e}\,x+4\sqrt{e}.
b) Não existe ponto com reta tangente horizontal.
c) O esboço é opcional e pode ser feito em software como GeoGebra.

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