Para as funções abaixo,
a) determine a equação da reta tangente em cada um dos pontos dados.
b) existe algum ponto em que a reta tangente ao gráfico é horizontal?
c) Opcional: faça um esboço do gráfico e das retas tangentes calculadas no item (a). Pode ser feito com o auxílio do computador, usando um software de computação científica, tipo Geogebra.
f(x)=\ln \left(\frac{x+2}{x-2}\right), pontos x=-3 e x=3.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\ln\!\bigl(\tfrac{x+2}{x-2}\bigr)
e pede: (a) equação da reta tangente nos pontos x=-3 e x=3; (b) se há ponto com reta tangente horizontal; (c) opcionalmente esboçar o gráfico. Para isso, vamos precisar do domínio de f (que é x<-2 ou x>2), da derivada f'(x), e da fórmula da reta tangente
y - f(x_0)=f'(x_0)\,(x - x_0).

Passo 2

Calculamos a derivada usando
\ln(a/b)=\ln a-\ln b e \tfrac{d}{dx}\ln u = u'/u. Assim,
f'(x) =\frac{d}{dx}\ln(x+2)\;-\;\frac{d}{dx}\ln(x-2) =\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x-2} =\frac{(x-2)-(x+2)}{(x+2)(x-2)} =-\frac{4}{x^2-4}.

Passo 3

Em x_0=-3 temos
f(-3)=\ln\!\bigl(\tfrac{-3+2}{-3-2}\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac{-1}{-5}\bigr) =\ln\!\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr) =-\ln5,
f'(-3)=-\frac{4}{(-3)^2-4} =-\frac{4}{9-4} =-\frac{4}{5}.
Logo a reta tangente em x=-3 é
y - (-\ln5) =-\frac{4}{5}\,(x - (-3)) \quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{4}{5}x-\frac{12}{5}-\ln5.

Passo 4

Em x_0=3 temos
f(3)=\ln\!\bigl(\tfrac{3+2}{3-2}\bigr) =\ln5,
f'(3)=-\frac{4}{3^2-4} =-\frac{4}{5}.
Assim a reta tangente em x=3 é
y - \ln5 =-\frac{4}{5}\,(x - 3) \quad\Longrightarrow\quad y=-\frac{4}{5}x+\frac{12}{5}+\ln5.

Passo 5

Para ter reta tangente horizontal precisaríamos de f'(x)=0. Mas
f'(x)=-\frac{4}{x^2-4}=0
não tem solução (numerador -4\neq0). Logo não há tangente horizontal.

Resposta

(a) Em x=-3:
y=-\tfrac{4}{5}x-\tfrac{12}{5}-\ln5.
Em x=3:
y=-\tfrac{4}{5}x+\tfrac{12}{5}+\ln5.
(b) Não existe ponto com reta tangente horizontal.
(c) O esboço fica a critério; pode usar Geogebra ou outro software.

Exercícios relacionados