Para as funções abaixo,
a) determine a equação da reta tangente em cada um dos pontos dados.
b) existe algum ponto em que a reta tangente ao gráfico é horizontal?
c) Opcional: faça um esboço do gráfico e das retas tangentes calculadas no item (a). Pode ser feito com o auxílio do computador, usando um software de computação científica, tipo Geogebra.
f(x)=2 \tan (x / 3), pontos \mathrm{x}=0 e \mathrm{x}=3.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x) = 2\tan\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)
e pede em (a) as retas tangentes nos pontos x=0 e x=3, em (b) se há ponto em que a reta tangente seja horizontal e em (c) opcionalmente um esboço do gráfico. Para (a) vamos precisar de f(x) e de sua derivada f'(x); para (b) resolvemos f'(x)=0.

Passo 2

Calcular a derivada usando a regra da cadeia e \tfrac{d}{du}\tan u = \operatorname{sec}^2 u. Seja u=x/3, então
f'(x) = 2\cdot\operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\cdot\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) = 2\operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)\cdot\frac{1}{3} = \frac{2}{3}\operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).

Passo 3

Para x=0:
Calcular f(0) e f'(0):
f(0) = 2\tan(0)=0, \quad f'(0) = \frac{2}{3}\operatorname{sec}^2(0)=\frac{2}{3}\cdot1 = \frac{2}{3}.
A reta tangente em x=0 é
y - f(0) = f'(0)\,(x-0) \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{2}{3}x.

Passo 4

Para x=3:
Calcular f(3) e f'(3):
f(3) = 2\tan\bigl(1\bigr), \quad f'(3) = \frac{2}{3}\operatorname{sec}^2\bigl(1\bigr).
A reta tangente em x=3 é
y - 2\tan(1) = \frac{2}{3}\operatorname{sec}^2(1)\,(x-3),
ou também
y = \frac{2}{3}\operatorname{sec}^2(1)\,x - \;3\cdot\frac{2}{3}\operatorname{sec}^2(1) + 2\tan(1).

Passo 5

Para achar retas horizontais, igualamos f'(x)=0:
\frac{2}{3}\operatorname{sec}^2\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) = 0.
Mas \operatorname{sec}^2 é sempre >0, logo não há solução e não existe ponto com reta tangente horizontal.

Resposta

a) Em x=0:
y = \frac{2}{3}x.
Em x=3:
y - 2\tan(1) = \frac{2}{3}\operatorname{sec}^2(1)\,(x-3).
b) Não existe ponto em que a reta tangente seja horizontal.

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