Para as funções abaixo,
a) determine a equação da reta tangente e da reta normal em cada um dos pontos dados.
b) Opcional: faça um esboço do gráfico e das retas tangentes e normais calculadas no item (a).
f(x)=4 x-x^{2}, pontos x=0 e x=1.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=4x - x^{2}
e pede, nos pontos x=0 e x=1, as equações da reta tangente e da reta normal. Vamos usar derivadas para obter o coeficiente angular da tangente e depois inverter o sinal recíproco para a normal.

Passo 2

Calculamos a derivada de f para encontrar o coeficiente angular da reta tangente em qualquer x:
f'(x) = \frac{d}{dx}\bigl(4x - x^{2}\bigr) = 4 - 2x.

Passo 3

Em x=0:
  • O ponto na curva é \bigl(0,f(0)\bigr) = (0,0).
  • A inclinação da tangente é m_{\text{tan}} = f'(0) = 4 - 2\cdot 0 = 4.
  • A equação da reta tangente, usando y - y_{0} = m_{\text{tan}}(x - x_{0}), fica y - 0 = 4(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = 4x.
  • A inclinação da reta normal é o negativo do recíproco de m_{\text{tan}}: m_{\text{norm}} = -\frac{1}{4}.
  • A equação da reta normal em (0,0) é y - 0 = -\tfrac{1}{4}(x - 0) \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{1}{4}x.

Passo 4

Em x=1:
  • O ponto na curva é \bigl(1,f(1)\bigr) = (1,\,4\cdot1 - 1^{2}) = (1,3).
  • A inclinação da tangente é m_{\text{tan}} = f'(1) = 4 - 2\cdot1 = 2.
  • A equação da reta tangente em (1,3) é y - 3 = 2(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = 2x + 1.
  • A inclinação da reta normal é m_{\text{norm}} = -\frac{1}{2}.
  • A equação da reta normal em (1,3) é y - 3 = -\tfrac{1}{2}(x - 1) \quad\Longrightarrow\quad y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{7}{2}.

Resposta

Para x=0:
tangente: y = 4x
normal: y = -\tfrac{1}{4}x
Para x=1:
tangente: y = 2x + 1
normal: y = -\tfrac{1}{2}x + \tfrac{7}{2}

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