Para as funções abaixo,
a) determine a equação da reta tangente e da reta normal em cada um dos pontos dados.
b) Opcional: faça um esboço do gráfico e das retas tangentes e normais calculadas no item (a).
f(x)=\sqrt{4-x^{2}}, pontos x=-1 e x=1.

Passo 1

O enunciado pede as retas tangente e normal à curva
f(x)=\sqrt{4-x^{2}}
nos pontos de abscissas x=-1 e x=1.
Para isso vamos precisar do valor de f(x) e da derivada f'(x) em cada ponto, pois a inclinação da tangente é f'(x_{0}) e a da normal é o negativo do inverso, isto é, -1/f'(x_{0}).

Passo 2

Calculamos a derivada usando regra da cadeia:
f(x)=(4-x^{2})^{1/2}
f'(x)=\tfrac12(4-x^{2})^{-1/2}\cdot(-2x)=-\frac{x}{\sqrt{4-x^{2}}}.
Logo, a equação da reta tangente em x_{0} é
y - f(x_{0}) = f'(x_{0})\bigl(x - x_{0}\bigr),
e da reta normal é
y - f(x_{0}) = -\frac{1}{f'(x_{0})}\bigl(x - x_{0}\bigr).

Passo 3

Caso x_{0}=-1:
f(-1)=\sqrt{4-(-1)^{2}}=\sqrt{3},\qquad f'(-1)=-\frac{-1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.
Reta tangente:
y-\sqrt{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}(x+1).
Reta normal (inclinação -\sqrt{3}):
y-\sqrt{3}=-\sqrt{3}\,(x+1).

Passo 4

Caso x_{0}=1:
f(1)=\sqrt{4-1^{2}}=\sqrt{3},\qquad f'(1)=-\frac{1}{\sqrt{3}}.
Reta tangente:
y-\sqrt{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1).
Reta normal (inclinação \sqrt{3}):
y-\sqrt{3}=\sqrt{3}\,(x-1).

Resposta

Para x=-1:
Tangente: y-\sqrt{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}(x+1)
Normal: y-\sqrt{3}=-\sqrt{3}\,(x+1)
Para x=1:
Tangente: y-\sqrt{3}=-\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1)
Normal: y-\sqrt{3}=\sqrt{3}\,(x-1)

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