Para as funções abaixo,
a) determine os pontos críticos da função.
b) determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
c) determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais da função.
d) Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
.
a) determine os pontos críticos da função.
b) determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
c) determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais da função.
d) Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
Passo 1
O enunciado pede para a função
que a) a gente encontre os pontos críticos,
b) determine onde ela cresce e onde ela decresce,
c) identifique os máximos e mínimos locais,
d) opcionalmente faça um esboço do gráfico.
O conteúdo principal aqui é derivada para achar extremos e estudar monotonia.
b) determine onde ela cresce e onde ela decresce,
c) identifique os máximos e mínimos locais,
d) opcionalmente faça um esboço do gráfico.
O conteúdo principal aqui é derivada para achar extremos e estudar monotonia.
Passo 2
Vamos calcular a derivada usando quociente. Se
então
Aqui
e
, logo
e
. Assim
Passo 3
Os pontos críticos são onde
ou
não existe. O denominador nunca zera, então só resolvemos
que dá
Portanto os pontos críticos são
e
.
Passo 4
Para saber onde
Cresce/Decresce, analisamos o sinal de
. Como
sempre, o sinal vem de
:
- Se
, então e , ou seja cresce em . - Se
, então e , ou seja decresce em e em .
Passo 5
Para identificar máximos e mínimos locais, olhamos a troca de sinal de
:
- Em
, vai de negativa (à esquerda) para positiva (à direita) mínimo local. - Em
, vai de positiva (à esquerda) para negativa (à direita) máximo local.
Os valores são
Resposta
a) Os pontos críticos são
e
.
b) é decrescente em
e em
; cresce em
.
c) Há mínimo local em e máximo local em
.
d) Esboço rápido: função ímpar, assíntota horizontal , sobe até
, desce depois, atinge
e sobe de novo.
b)
c) Há mínimo local em
d) Esboço rápido: função ímpar, assíntota horizontal