Para as funções abaixo,
a) determine os pontos críticos da função.
b) determine os intervalos onde a função é crescente e onde ela é decrescente.
c) determine os pontos de máximo e os pontos de mínimo locais da função.
d) Opcional: faça um esboço do gráfico da função.
f(x)=\frac{8 x}{x^{2}+4}.

Passo 1

O enunciado pede para a função
f(x)=\frac{8x}{x^{2}+4}
que a) a gente encontre os pontos críticos,
b) determine onde ela cresce e onde ela decresce,
c) identifique os máximos e mínimos locais,
d) opcionalmente faça um esboço do gráfico.
O conteúdo principal aqui é derivada para achar extremos e estudar monotonia.

Passo 2

Vamos calcular a derivada usando quociente. Se
f(x)=\frac{u(x)}{v(x)},
então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^{2}}.
Aqui u(x)=8x e v(x)=x^{2}+4, logo u'(x)=8 e v'(x)=2x. Assim
f'(x) =\frac{8\,(x^{2}+4)-8x\,(2x)}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{8x^{2}+32-16x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{32-8x^{2}}{(x^{2}+4)^{2}} =\frac{8\,(4-x^{2})}{(x^{2}+4)^{2}}.

Passo 3

Os pontos críticos são onde f'(x)=0 ou f'(x) não existe. O denominador nunca zera, então só resolvemos
4 - x^{2} = 0
que dá
x=\pm2.
Portanto os pontos críticos são x=-2 e x=2.

Passo 4

Para saber onde f Cresce/Decresce, analisamos o sinal de f'(x). Como (x^{2}+4)^{2}>0 sempre, o sinal vem de 4-x^{2}:
  • Se |x|<2, então 4-x^{2}>0 e f'(x)>0, ou seja f cresce em (-2,2).
  • Se |x|>2, então 4-x^{2}<0 e f'(x)<0, ou seja f decresce em (-\infty,-2) e em (2,\infty).

Passo 5

Para identificar máximos e mínimos locais, olhamos a troca de sinal de f':
  • Em x=-2, f' vai de negativa (à esquerda) para positiva (à direita) \to mínimo local.
  • Em x=2, f' vai de positiva (à esquerda) para negativa (à direita) \to máximo local.
    Os valores são
f(-2)=\frac{8(-2)}{(-2)^{2}+4}=-\frac{16}{8}=-2, \quad f(2)=\frac{8\cdot2}{4+4}=\frac{16}{8}=2.

Resposta

a) Os pontos críticos são x=-2 e x=2.
b) f é decrescente em (-\infty,-2) e em (2,\infty); cresce em (-2,2).
c) Há mínimo local em \bigl(-2,-2\bigr) e máximo local em \bigl(2,2\bigr).
d) Esboço rápido: função ímpar, assíntota horizontal y=0, sobe até (2,2), desce depois, atinge (-\!2,-2) e sobe de novo.

Exercícios relacionados