1 ( 2.0 pts ). Um laboratório farmacéutico tem um novo medicamento que deseja colocar no mercado. Estudos de mercado indicam que a demanda anual do produto depende esseusalmente do seu preço. Estimou-se que a relação de demanda para produzir este remédio 6 x+500 p=250000, onde p é o preço de venda, em reais, de uma caíxa do medicamento e x é a quantidade de caixas produzidas. A receita da venda de x caixas do medicamento, por definição, é dada por R(x)=p \cdot x. Por outro lado, o custo de produçāo de x caixas deste remédio é C(x)=300000-300 x-0,25 x^{2}. Sabendo que o Lucro é a diferença entre a receita obtida pelo custo de produção, determine a lei de formação da função lucro y=L(x) que descreve o lucro obtido em reais na venda de x caixas do remédio. Qual é o luero obtido na venda de 1000 caixas do remédio?

Passo 1

O enunciado nos dá a relação de demanda linear
6x + 500p = 250000
onde x é a quantidade de caixas e p é o preço de venda por caixa. A receita é definida por
R(x)=p\cdot x
e o custo de produção é
C(x)=300000 - 300x - 0,25x^2.
Precisamos, portanto, obter a lei de formação da função lucro
y=L(x)=R(x)-C(x)
e, em seguida, calcular L(1000).

Passo 2

Isolando o preço p na equação de demanda, temos
6x + 500p = 250000
p = \frac{250000 - 6x}{500} = 500 - 0,012x.

Passo 3

Substituindo p em R(x)=p\cdot x, obtemos
R(x) = \bigl(500 - 0,012x\bigr)\,x = 500x - 0,012x^2.

Passo 4

A função lucro é
L(x) = R(x) - C(x) = \bigl(500x - 0,012x^2\bigr) - \bigl(300000 - 300x - 0,25x^2\bigr).
Ao simplificar, juntando termos semelhantes, resulta
L(x) = -300000 + (500 + 300)\,x + (-0,012 + 0,25)\,x^2 = -300000 + 800x + 0,238x^2.

Passo 5

Para x=1000,
L(1000) = -300000 + 800\cdot1000 + 0,238\cdot(1000)^2 = -300000 + 800000 + 238000 = 738000.

Resposta

A lei de formação da função lucro é
L(x) = 0,238x^2 + 800x - 300000.
O lucro obtido na venda de 1000 caixas é
L(1000) = 738000 \text{ reais}.

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