2 ( 2,0 pts). Sabendo que a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} a seguir é contínua, determine o valor da constante K :
f(x)=\left\{\begin{array}{l} 4-x+x^{3}, \text { se } x \leq 1 \\\\ 9-K \cdot x^{2}, \text { se } x>1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\begin{cases} 4 - x + x^{3}, & x \le 1,\\\\ 9 - K\,x^{2}, & x > 1, \end{cases}
e diz que ela é contínua em todo \mathbb{R}. Para haver continuidade em x=1, o valor de f vindo da esquerda em 1 deve ser igual ao valor vindo da direita em 1.

Passo 2

Calculamos o valor de f em x=1 pelo ramo da esquerda ( x\le1):
f(1) = 4 - 1 + 1^{3} = 4.

Passo 3

Agora avaliamos o limite à direita em x=1, isto é, o ramo x>1:
\lim_{x\to1^+}f(x) = 9 - K\cdot1^{2} = 9 - K.

Passo 4

Impondo continuidade em x=1, igualamos os dois resultados:
4 = 9 - K.
Resolvendo para K, obtemos
K = 9 - 4 = 5.

Resposta

K = 5

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