Nas funções abaixo encontre as derivadas parciais ∂ f / ∂ x e ∂ f / ∂ y.
f(x, y)=3 x^{2} y+2 x y^{2}-5 x+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y da função
f(x, y) = 3x^{2}y + 2xy^{2} - 5x + 1.
Para isso, vamos aplicar a definição de derivada parcial, mantendo uma variável fixa enquanto diferenciamos em relação à outra.

Passo 2

Para calcular \partial f/\partial x, consideramos y como constante e derivamos termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-5x\bigr) + \frac{\partial}{\partial x}\bigl(1\bigr).
Como
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(3x^{2}y\bigr) = 6xy,\quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2xy^{2}\bigr) = 2y^{2},\quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-5x\bigr) = -5,\quad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(1\bigr) = 0,
segue que
\frac{\partial f}{\partial x} = 6xy + 2y^{2} - 5.

Passo 3

Para calcular \partial f/\partial y, consideramos x como constante e derivamos termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy^{2}\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-5x\bigr) + \frac{\partial}{\partial y}\bigl(1\bigr).
Como
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(3x^{2}y\bigr) = 3x^{2},\quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy^{2}\bigr) = 4xy,\quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-5x\bigr) = 0,\quad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(1\bigr) = 0,
segue que
\frac{\partial f}{\partial y} = 3x^{2} + 4xy.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = 6xy + 2y^{2} - 5, \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 3x^{2} + 4xy.

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