Nas funções abaixo encontre as derivadas parciais ∂ f / ∂ x e ∂ f / ∂ y.
e^{x^{2} y}

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y) = e^{x^2 y}
e pede as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia: ao derivar uma função composta e^{u(x,y)}, temos
\frac{\partial}{\partial x}e^{u(x,y)} = e^{u(x,y)}\frac{\partial u}{\partial x} \quad\text{e}\quad \frac{\partial}{\partial y}e^{u(x,y)} = e^{u(x,y)}\frac{\partial u}{\partial y}.

Passo 2

Definimos o expoente
u(x,y) = x^2 y.
Para a derivada parcial em relação a x, calculamos primeiro
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^2 y\bigr) = 2x\,y,
e então aplicamos a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = e^{x^2y}\cdot(2x\,y) = 2x\,y\,e^{x^2y}.

Passo 3

Para a derivada parcial em relação a y, calculamos
\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^2 y\bigr) = x^2,
e então, pela regra da cadeia,
\frac{\partial f}{\partial y} = e^{u(x,y)}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} = e^{x^2y}\cdot x^2 = x^2\,e^{x^2y}.

Resposta

\frac{\partial f}{\partial x} = 2x\,y\,e^{x^2y}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y} = x^2\,e^{x^2y}.

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