Para as funções abaixo, faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Para tanto, desenvolva uma tabela com valores de x, f(x) e f^{\prime}(x). Justifique porque os intervalos escolhidos têm uma raiz, e só uma raiz, e não desenvolva as respostas pelo método gráfico.
f(x)=e^{x}-3;

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
  • Pede: isolar um intervalo (ou intervalos) nos quais as raízes da função estão. Também foi pedido desenvolver uma tabela com valores de x, f(x) e f'(x).
  • Dado: a função
f(x)=e^{x}-3.
  • Objetivo imediato: encontrar um intervalo com extremos numéricos nos quais possamos garantir que existe ao menos uma raiz (pela mudança de sinal) e justificar que esse intervalo contém exatamente uma raiz (pela monotonicidade/derivada).

Passo 2

Calcular a derivada e discutir propriedades básicas da função (continuidade, sinal da derivada).
A derivada de f é, por regras da diferenciação da exponencial,
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}-3\bigr)=e^{x}.
Agora algumas observações importantes, explicadas com calma:
  • A função e^{x} é contínua para todo x\in\mathbb{R}. Portanto f(x)=e^{x}-3 também é contínua para todo x\in\mathbb{R}. A continuidade é necessária para usar o Teorema do Valor Intermediário (que garante existência de raiz quando há mudança de sinal).
  • O valor de e^{x} é sempre positivo: e^{x}>0 para todo x. Assim, f'(x)=e^{x}>0 para todo x. Em linguagem simples: a função cresce sempre, é estritamente crescente em toda a reta real. Isso será usado para garantir unicidade das raízes (se uma função contínua é estritamente crescente, ela pode ter no máximo uma raiz).

Passo 3

Montar a tabela solicitada com alguns valores de x próximos da possível raiz. Vou escolher pontos que nos permitam detectar mudança de sinal perto da solução.
\begin{array}{c|c|c} x & f(x)=e^{x}-3 & f'(x)=e^{x}\\hline 0 & e^{0}-3 = 1-3 = -2 & e^{0}=1\\[4pt] 1 & e^{1}-3 \approx 2,71828-3 = -0,28172 & e^{1}\approx 2,71828\\[4pt] 1{,}1 & e^{1{,}1}-3 \approx 3,00417-3 = 0,00417 & e^{1{,}1}\approx 3,00417 \end{array}
Explicando as entradas:
  • Para x=0: f(0)=-2 e f'(0)=1.
  • Para x=1: usamos e^{1}\approx 2,71828, então f(1)\approx -0,28172 e f'(1)\approx 2,71828.
  • Para x=1{,}1: usamos e^{1{,}1}\approx 3,00417, então f(1{,}1)\approx 0,00417 e f'(1{,}1)\approx 3,00417.]

Passo 4

Usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para afirmar existência de raiz no intervalo escolhido.
Teorema do Valor Intermediário (em palavras): se g é contínua num intervalo fechado [a,b] e g(a) e g(b) têm sinais opostos (ou seja, g(a)\cdot g(b)<0), então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que g\text{(c)}=0.
Aplicando ao nosso caso com [a,b]=[1,\,1{,}1]:
  • f(1)\approx -0,28172<0.
  • f(1{,}1)\approx 0,00417>0.
    Como f é contínua em [1,\,1{,}1] (é exponencial menos constante), e há mudança de sinal entre as extremidades, o TVI garante que existe pelo menos um c\in(1,\,1{,}1) tal que f\text{(c)}=0. Ou seja, existe pelo menos uma raiz em (1,\,1{,}1).

Passo 5

Justificar que há exatamente uma raiz no intervalo (unicidade) — usar monotonicidade derivada.
Argumento de unicidade:
  • Já vimos que f'(x)=e^{x}>0 para todo x. Isso significa que f é estritamente crescente em toda a reta real.
  • Uma função estritamente crescente não pode assumir o mesmo valor em dois pontos distintos; em particular, se f tivesse duas raízes distintas x_1<x_2 com f(x_1)=f(x_2)=0, isso contradizeria a estrita monotonicidade (porque então f(x_1)=f(x_2) com x_1\neq x_2). Portanto, f pode ter no máximo uma raiz em qualquer intervalo.
  • Combinando: pelo Passo 4 existe pelo menos uma raiz em (1,\,1{,}1), e pela monotonicidade existe no máximo uma. Logo existe exatamente uma raiz em (1,\,1{,}1).
  • Como f é estritamente crescente em toda \mathbb{R} e tende a -\infty quando x\to -\infty e a +\infty quando x\to +\infty, essa única raiz é a única raiz globalmente na reta real.

Passo 6

Resumo final do isolamento: o intervalo que isola a raiz (com existência e unicidade garantidas) é o intervalo aberto (1,\,1{,}1). Esse intervalo foi obtido porque em x=1 a função é negativa e em x=1{,}1 a função é positiva, e a função é contínua e estritamente crescente.

Resposta

1 < x < 1{,}1

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