Para as funções abaixo, faça o isolamento dos intervalos em que as raízes estão. Para tanto, desenvolva uma tabela com valores de
e
. Justifique porque os intervalos escolhidos têm uma raiz, e só uma raiz, e não desenvolva as respostas pelo método gráfico.
;
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos foi dado:
- Pede: isolar um intervalo (ou intervalos) nos quais as raízes da função estão. Também foi pedido desenvolver uma tabela com valores de
, e . - Dado: a função
- Objetivo imediato: encontrar um intervalo com extremos numéricos nos quais possamos garantir que existe ao menos uma raiz (pela mudança de sinal) e justificar que esse intervalo contém exatamente uma raiz (pela monotonicidade/derivada).
Passo 2
Calcular a derivada e discutir propriedades básicas da função (continuidade, sinal da derivada).
A derivada de
é, por regras da diferenciação da exponencial,
Agora algumas observações importantes, explicadas com calma:
- A função
é contínua para todo . Portanto também é contínua para todo . A continuidade é necessária para usar o Teorema do Valor Intermediário (que garante existência de raiz quando há mudança de sinal). - O valor de
é sempre positivo: para todo . Assim, para todo . Em linguagem simples: a função cresce sempre, é estritamente crescente em toda a reta real. Isso será usado para garantir unicidade das raízes (se uma função contínua é estritamente crescente, ela pode ter no máximo uma raiz).
Passo 3
Montar a tabela solicitada com alguns valores de
próximos da possível raiz. Vou escolher pontos que nos permitam detectar mudança de sinal perto da solução.
Explicando as entradas:
- Para
: e . - Para
: usamos , então e . - Para
: usamos , então e .]
Passo 4
Usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para afirmar existência de raiz no intervalo escolhido.
Teorema do Valor Intermediário (em palavras): se
é contínua num intervalo fechado
e
e
têm sinais opostos (ou seja,
), então existe pelo menos um
tal que
.
Aplicando ao nosso caso com
:
-
. -
.
Comoé contínua em (é exponencial menos constante), e há mudança de sinal entre as extremidades, o TVI garante que existe pelo menos um tal que . Ou seja, existe pelo menos uma raiz em .
Passo 5
Justificar que há exatamente uma raiz no intervalo (unicidade) — usar monotonicidade derivada.
Argumento de unicidade:
- Já vimos que
para todo . Isso significa que é estritamente crescente em toda a reta real. - Uma função estritamente crescente não pode assumir o mesmo valor em dois pontos distintos; em particular, se
tivesse duas raízes distintas com , isso contradizeria a estrita monotonicidade (porque então com ). Portanto, pode ter no máximo uma raiz em qualquer intervalo. - Combinando: pelo Passo 4 existe pelo menos uma raiz em
, e pela monotonicidade existe no máximo uma. Logo existe exatamente uma raiz em . - Como
é estritamente crescente em toda e tende a quando e a quando , essa única raiz é a única raiz globalmente na reta real.
Passo 6
Resumo final do isolamento: o intervalo que isola a raiz (com existência e unicidade garantidas) é o intervalo aberto
. Esse intervalo foi obtido porque em
a função é negativa e em
a função é positiva, e a função é contínua e estritamente crescente.