Quais das funções abaixo são soluções do laplaciano bidimensional onde psi(x, y) é um campo escalar?
nabla^2 psi=0
psi=e^x cos (y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
psi(x,y)=e^xcos(y)
é solução da equação de Laplace bidimensional
nabla^2psi=0,
ou seja, se
partial^2psipartial x^2 ;+;partial^2psipartial y^2 ;=;0

Passo 2

Calcular a segunda derivada de psi em relação a x:
partial psipartial x =partialpartial xl(e^xcos yr) =e^xcos y,
partial^2psipartial x^2 =partialpartial xl(e^xcos yr) =e^xcos y

Passo 3

Calcular a segunda derivada de psi em relação a y:
partial psipartial y =partialpartial yl(e^xcos yr) =-,e^xsin y,
partial^2psipartial y^2 =partialpartial yl(-,e^xsin yr) =-,e^xcos y

Passo 4

Somar as duas segundas derivadas e verificar se dá zero:
partial^2psipartial x^2 ;+;partial^2psipartial y^2 =e^xcos y ;+;l(-,e^xcos yr) =0
Como a soma é zero, psi(x,y)=e^xcos y satisfaz nabla^2psi=0.

Resposta

A função psi(x,y)=e^xcos y é solução da equação de Laplace bidimensional.

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