integral0^2 integral0^2-y integral0^4-z^2-y^2 d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume da região R dada pelo triplo integral
integraly=0^2integralz=0^2-yintegralx=0^4 - y^2 - z^2 d x,d z,d y
O conteúdo aqui é integração iterada (Teorema de Fubini): primeiro integramos em x, depois em z e por fim em y.

Passo 2

Integramos primeiro em x. Como o integrando é 1, temos
integralx=0^4 - y^2 - z^2 d x = l[xr]0^4 - y^2 - z^2 = 4 - y^2 - z^2
O triplo integral reduz-se a
integraly=0^2integralz=0^2-yl(4 - y^2 - z^2r),d z,d y

Passo 3

Agora integramos em z:
integralz=0^2-yl(4 - y^2 - z^2r),d z = l(4 - y^2r)l(2 - yr) - (2 - y)^33
Desenvolvendo e simplificando,
l(4 - y^2r)(2 - y) =8 - 4y - 2y^2 + y^3, (2 - y)^33 =8 -12y+6y^2 - y^33,
logo o integrando em y fica
163 - 4y^2 + 43y^3

Passo 4

Finalmente, integramos em y de 0 até 2:
integral0^2l(163 - 4y^2 + 43y^3r),d y =[163y - 43y^3 + 43cdoty^44]0^2
Avalia em y=2:
163cdot2 ;-;43cdot8;+;43cdot164 = 323 - 323 + 163 = 163

Resposta

163

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