Quais das funções abaixo são soluções do laplaciano bidimensional onde psi(x, y) é um campo escalar?
nabla^2 psi=0
psi=sin (x) cosh (y)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
psi(x,y)=sin(x)cosh(y)
é solução da equação de Laplace bidimensional
nabla^2psi=0,
isto é, se
partial^2psipartial x^2+partial^2psipartial y^2=0

Passo 2

Calcular a derivada segunda em relação a x. Como cosh(y) é constante quando derivamos em x, temos
partialpsipartial x =cos(x),cosh(y),
partial^2psipartial x^2 =-sin(x),cosh(y)

Passo 3

Calcular a derivada segunda em relação a y. Agora sin(x) é constante quando derivamos em y, e sabemos que
ddycosh(y)=sinh(y) e
ddysinh(y)=cosh(y). Logo
partialpsipartial y =sin(x),sinh(y),
partial^2psipartial y^2 =sin(x),cosh(y)

Passo 4

Somar as duas segundas derivadas:
partial^2psipartial x^2 +partial^2psipartial y^2 =-sin(x)cosh(y) +sin(x)cosh(y) =0
Isso mostra que nabla^2psi=0.

Resposta

A função psi(x,y)=sin(x)cosh(y) satisfaz
nabla^2psi=0
e, portanto, é solução da equação de Laplace bidimensional.

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