Quais das funções abaixo são soluções do laplaciano bidimensional onde psi(x, y) é um campo escalar?
nabla^2 psi=0
psi=ln (x^2+y^2)

Passo 1

O enunciado pergunta se a função
psi(x,y)=lnl(x^2+y^2r)
é solução da equação de Laplace bidimensional
nabla^2psi=0
Isto é conteúdo de cálculo vetorial / equações de Laplace: para verificar, basta calcular as derivadas segundas parciais de psi e somá-las.

Passo 2

Calculemos primeiro a derivada parcial em relação a x. Usando a regra da cadeia e a derivada de ln(u), temos
partialpsipartial x =1x^2+y^2cdot2x =2xx^2+y^2
Agora aplicamos a derivada em x de novo, usando regra do quociente:
partial^2psipartial x^2 =(2)(x^2+y^2)-2xcdot2x(x^2+y^2)^2 =2(x^2+y^2)-4x^2(x^2+y^2)^2 =2y^2-2x^2(x^2+y^2)^2

Passo 3

De modo semelhante, para y:
partialpsipartial y =2yx^2+y^2, partial^2psipartial y^2 =2(x^2+y^2)-4y^2(x^2+y^2)^2 =2x^2-2y^2(x^2+y^2)^2
Somando as duas segundas derivadas dá
partial^2psipartial x^2 +partial^2psipartial y^2 =2y^2-2x^2+2x^2-2y^2(x^2+y^2)^2 =0
Logo nabla^2psi=0 para todo (x,y)neq(0,0).

Resposta

psi(x,y)=ln(x^2+y^2) satisfaz nabla^2psi=0 em R^2setminus(0,0).

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