Quais das funções abaixo são soluções do laplaciano bidimensional onde
é um campo escalar?
Passo 1
O enunciado pergunta se a função
é solução da equação de Laplace bidimensional
Isto é conteúdo de cálculo vetorial / equações de Laplace: para verificar, basta calcular as derivadas segundas parciais de
e somá-las.
Passo 2
Calculemos primeiro a derivada parcial em relação a
. Usando a regra da cadeia e a derivada de
, temos
Agora aplicamos a derivada em
de novo, usando regra do quociente:
Passo 3
De modo semelhante, para
:
Somando as duas segundas derivadas dá
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para todo
.