integral triplaE x d V, onde E é limitado pelo paraboloide x=4 y^2+z^2 e pelo plano x=4.

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral triplaE x ,dV,
onde E é a região limitada pelo paraboloide
x = 4y^2 + z^2
e pelo plano
x = 4
O conteúdo aqui é integração tripla em uma região descrita por superfícies. Vamos usar integração iterada, fazendo primeiro a integral em x e depois em y,z.

Passo 2

Para cada ponto (y,z) a região em x vai de x=4y^2+z^2 até x=4. Então
integral triplaE x ,dV = integral duplaDl(integralx=4y^2+z^2^4 x,dxr),dAy,z,
onde
D = (y,z)mid 4y^2+z^2 <= 4

Passo 3

Calcule a integral interna em x:
integral4y^2+z^2^4 x,dx = x^22g|4y^2+z^2^4 = 12l(16 - (4y^2+z^2)^2r)
Logo
integral triplaE x,dV = 12integral duplaDl(16 - (4y^2+z^2)^2r),dAy,z

Passo 4

A região D é a elipse 4y^2+z^2<=4. Para simplificar, fazemos a mudança
u=y, v=z2,
de modo que 4y^2+z^2=4(u^2+v^2) e o jacobiano vale l|partial(y,z)/partial(u,v)r|=2. Em coordenadas polares no plano (u,v), u=rcostheta, v=rsintheta, com 0<= r<=1, 0<=theta<=2pi. A integral torna-se
12integral0^2pi!integral0^1l(16 - l(4r^2r)^2r)cdot 2;r,dr,dtheta = integral0^2pi!integral0^1l(16 - 16r^4r),r,dr,dtheta
Agora
integral0^1(16r - 16r^5),dr =16l[tfracr^22 - tfracr^66r]0^1 =16l(tfrac12 - tfrac16r) = tfrac163,
e integrando em theta obtemos
integral triplaE x,dV = integral0^2pi!163,dtheta = 163cdot2pi = 32pi3

Resposta

32pi3

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