Das funções abaixo, quais satisfazem o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo?
, para
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a função
satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo.
Conteúdo: Critério de convergência (contraction mapping).
O que precisamos:
Conteúdo: Critério de convergência (contraction mapping).
O que precisamos:
- Saber que para garantir convergência do ponto fixo em
a gente quer em todo o intervalo. - Calcular
e achar seu máximo em .
Passo 2
Calcular a derivada de
.
Nesse caso:
Nesse caso:
Então o valor absoluto é
Passo 3
Precisamos ver qual é o maior valor de
quando
varia em
.
-
é uma função decrescente em . - No intervalo
, o menor que ela atinge (mais perto de 0, sem incluir) faz ser quase . - Para
, vale . Então conforme cresce, o valor cai.
Logo o supremo (valor máximo não alcançado, mas aproximado quando) é
Passo 4
O critério de convergência exige um
tal que
em todo o intervalo.
Aqui , ou seja, não existe
que limite
em
.
Aqui
Resposta
A função
não satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo em
.