Das funções abaixo, quais satisfazem o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo?
g(x)=e^-x, para x in(0,1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se a função
g(x) = e^-x, x in (0,1]
satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo.
Conteúdo: Critério de convergência (contraction mapping).
O que precisamos:
  1. Saber que para garantir convergência do ponto fixo em a gente quer em todo o intervalo.
  2. Calcular e achar seu máximo em .

Passo 2

Calcular a derivada de g'(x) = ddxl(e^-xr) = -e^-x .
Nesse caso:
lvert g'(x)rvert = e^-x
Então o valor absoluto é

Passo 3

Precisamos ver qual é o maior valor de supxin(0,1] e^-x = 1 quando varia em .
  • é uma função decrescente em .
  • No intervalo , o menor que ela atinge (mais perto de 0, sem incluir) faz ser quase .
  • Para , vale . Então conforme cresce, o valor cai.
    Logo o supremo (valor máximo não alcançado, mas aproximado quando ) é

Passo 4

O critério de convergência exige um tal que em todo o intervalo.
Aqui , ou seja, não existe que limite em .

Resposta

A função não satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo em .

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