Das funções abaixo, quais satisfazem o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo? , para
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer saber se
satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo.
Conteúdo envolvido: Teorema do Ponto Fixo (ou Contracção).
O que precisamos fazer:
Mostrar que leva o intervalo em si mesmo;
Verificar que existe tal que para todo .
Passo 2
Verificando a imagem de em :
Para , .
Para , .
Como e estão dentro de e é contínua, todo valor intermediário também fica em .
Logo, .
Passo 3
Agora calculamos a derivada para checar a contracção:
Como , o maior valor de ocorre em , dando
Isso mostra que é uma contracção com constante .
Resposta
A função satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo no intervalo , pois mapeia o intervalo em si mesmo e tem derivada limitada por .