Das funções abaixo, quais satisfazem o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo?
g(x)=x^23+13, para x in[0,1]

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer saber se
g(x) = x^23 + 13, xin[0,1]
satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo.
Conteúdo envolvido: Teorema do Ponto Fixo (ou Contracção).
O que precisamos fazer:
  1. Mostrar que leva o intervalo em si mesmo;
  2. Verificar que existe tal que para todo .

Passo 2

Verificando a imagem de em :
  • Para , .
  • Para , .
    Como e estão dentro de e é contínua, todo valor intermediário também fica em .
    Logo, .

Passo 3

Agora calculamos a derivada para checar a contracção:
g'(x) = ddx!l(x^23+13r) = 2x3
Como maxxin[0,1]|g'(x)| = 2cdot13 = 23 < 1 , o maior valor de ocorre em , dando
Isso mostra que é uma contracção com constante .

Resposta

A função satisfaz o critério de convergência do método de Iteração do Ponto Fixo no intervalo , pois mapeia o intervalo em si mesmo e tem derivada limitada por .

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