Mostre que a solução da equação de recorrência
é da forma
em que
é uma progressão aritmética e
é uma progressão geométrica.
Passo 1
Beleza, olha só o que o enunciado pede: a gente tem a recorrência
com condições iniciais
Conteúdo: equações de recorrência lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
O que vamos usar:
- Montar a equação característica.
- Lidar com raiz dupla da característica (se acontecer).
- Encontrar a solução geral e ajustar com
Passo 2
Primeiro a gente monta a equação característica trocando
na relação:
Isso é um polinômio quadrático.
Passo 3
Agora resolvemos
. Reconhece que é
ou seja, temos raiz dupla
Passo 4
Quando a equação característica tem raiz dupla
, a solução geral da recorrência é da forma
Aqui
Repara que isso já é exatamente um produto de uma progressão aritmética
vezes uma geométrica
.
Passo 5
Só falta achar
e
usando
e
.
- Para
:
- Para:
Resposta
A solução é
onde