Mostre que a solução da equação de recorrência
yn+2-10 yn+1+25 yn=0, y0=3 y1=45
é da forma an cdot bn em que an é uma progressão aritmética e bn é uma progressão geométrica.

Passo 1

Beleza, olha só o que o enunciado pede: a gente tem a recorrência
yn+2-10,yn+1+25,yn=0
com condições iniciais y0=3 e y1=45.
Conteúdo: equações de recorrência lineares de segunda ordem com coeficientes constantes.
O que vamos usar:
- Montar a equação característica.
- Lidar com raiz dupla da característica (se acontecer).
- Encontrar a solução geral e ajustar com y0,y1.

Passo 2

Primeiro a gente monta a equação característica trocando ynto r^n na relação:
r^n+2-10,r^n+1+25,r^n=0Longrightarrow r^2-10r+25=0
Isso é um polinômio quadrático.

Passo 3

Agora resolvemos r^2-10r+25=0. Reconhece que é
(r-5)^2=0,
ou seja, temos raiz dupla r=5 (multiplicidade 2).

Passo 4

Quando a equação característica tem raiz dupla r, a solução geral da recorrência é da forma
yn=(A+B,n),r^n
Aqui r=5, então
yn=(A+B,n),5^n
Repara que isso já é exatamente um produto de uma progressão aritmética A+B,n vezes uma geométrica 5^n.

Passo 5

Só falta achar A e B usando y0=3 e y1=45.
  • Para n=0: y0=(A+Bcdot0),5^0=Acdot1=A=3
    - Para n=1:
    y1=(A+Bcdot1),5^1=(3+B),5=45Longrightarrow3+B=9Longrightarrow B=6

Resposta

A solução é
boxedyn=(3+6n),5^n,
onde an=3+6n é uma progressão aritmética (PA) e bn=5^n é uma progressão geométrica (PG).

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