Usando o princípio de indução, prove que
0 ! +1 ! +2 ! +cdots+n ! <=(n+1) !, para todo número natural n.
Obs 1 : Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3.
Obs2:(a+b)^3=a^3+3 a^2 b+3 a b^2+b^3.

Passo 1

O enunciado pede que usemos prova por indução para mostrar que
0! + 1! + 2! + cdots + n! ;<=; (n+1)!
para todo número natural .
Conteúdo: princípio de indução e definição de fatorial.
O que vamos precisar:
- Entender o que é prova por indução (base e passo indutivo).
- Saber usar a hipótese de indução para passar de para .
- Reconhecer que .

Passo 2

Base da indução ( 0! = 1,):
À esquerda temos
(0+1)! = 1! = 1
à direita
0! <= (0+1)! Longrightarrow 1 <= 1,
Logo

que é verdade. A base está ok.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para um 0! + 1! + 2! + cdots + n! ;<=; (n+1)!tagHI qualquer a seguinte desigualdade já seja válida:

Passo 4

Passo indutivo (mostrar para 0! + 1! + cdots + n! + (n+1)! ;<=; (n+1)! + (n+1)! ;=; 2,(n+1)! ):
Começamos somando (n+2)! = (n+2),(n+1)!, aos dois lados da (HI):
2,(n+1)! ;<=; (n+2),(n+1)! Long<=ftrightarrow 2 ;<=; n+2,
Mas queremos provar que isso é 0! + 1! + cdots + n! + (n+1)! ;<=; (n+2)! . Como
basta ver que
e isso é verdade para todo . Logo
Assim, fechamos o passo indutivo.

Resposta

Portanto, por indução, concluímos que para todo número natural 0! + 1! + 2! + cdots + n! ;<=; (n+1)! vale

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