Usando o princípio de indução, prove que
0 ! +1 ! +2 ! ! !, para todo número natural .
Obs : Um número é divisível por 6 se for divisível por 2 e 3. .
Passo 1
O enunciado pede que usemos prova por indução para mostrar que
para todo número natural .
Conteúdo: princípio de indução e definição de fatorial.
O que vamos precisar:
- Entender o que é prova por indução (base e passo indutivo).
- Saber usar a hipótese de indução para passar de para .
- Reconhecer que .
Passo 2
Base da indução ():
À esquerda temos
à direita
Logo
que é verdade. A base está ok.
Passo 3
Hipótese de indução: suponha que para um qualquer a seguinte desigualdade já seja válida:
Passo 4
Passo indutivo (mostrar para 0! + 1! + cdots + n! + (n+1)! ;<=; (n+1)! + (n+1)! ;=; 2,(n+1)! ):
Começamos somando (n+2)! = (n+2),(n+1)!, aos dois lados da (HI):