Verifique se os limites abaixo existem. Caso sim, use a definição por \epsilon e \delta, para mostrar cada limite existente. Em cada caso abaixo, vamos ter que verificar que
Como \cos x\in[-1,1] para todo x, tem-se 2+\cos x\ge1. Portanto
|f(x,y)|\le|x+y|\le|x|+|y|\le2\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Passo 4
Queremos \bigl|f(x,y)\bigr|<\epsilon. Basta garantir 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\epsilon ou seja
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\frac{\epsilon}{2}.
Assim podemos escolher
\delta=\frac{\epsilon}{2}.
Passo 5
Para \epsilon=0{,}02, temos
\delta=\frac{0{,}02}{2}=0{,}01.
Logo, sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<0{,}01,
seguirá \bigl|f(x,y)-0\bigr|<0{,}02,
o que prova a continuidade em (0,0) e, portanto, a existência do limite.