Verifique se os limites abaixo existem. Caso sim, use a definição por \epsilon e \delta, para mostrar cada limite existente. Em cada caso abaixo, vamos ter que verificar que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\\delta \Rightarrow|f(x, y)-f(0,0)|<\epsilon
Isto é, temos satisfeita a definição de função contínua. Quando achar o \delta
f(x, y)=\frac{x+y}{2+\cos x}, \epsilon=0,02

Passo 1

O enunciado pede para verificar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)
usando a definição de continuidade por \epsilon e \delta, onde
f(x,y)=\frac{x+y}{2+\cos x}
e \epsilon=0{,}02. Vou mostrar que de fato
f(0,0)=0
e, dado \epsilon, encontro um \delta>0 tal que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta\quad\Rightarrow\quad\bigl|f(x,y)-0\bigr|<\epsilon.

Passo 2

Calculo f(0,0). Como \cos0=1,
f(0,0)=\frac{0+0}{2+\cos0}=\frac{0}{3}=0.
Logo o limite candidato é 0.

Passo 3

Faço uma estimativa de \bigl|f(x,y)\bigr|:
|f(x,y)|=\left|\frac{x+y}{2+\cos x}\right|.
Como \cos x\in[-1,1] para todo x, tem-se 2+\cos x\ge1. Portanto
|f(x,y)|\le|x+y|\le|x|+|y|\le2\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 4

Queremos \bigl|f(x,y)\bigr|<\epsilon. Basta garantir 2\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\epsilon ou seja
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\frac{\epsilon}{2}.
Assim podemos escolher
\delta=\frac{\epsilon}{2}.

Passo 5

Para \epsilon=0{,}02, temos
\delta=\frac{0{,}02}{2}=0{,}01.
Logo, sempre que \sqrt{x^{2}+y^{2}}<0{,}01,
seguirá \bigl|f(x,y)-0\bigr|<0{,}02,
o que prova a continuidade em (0,0) e, portanto, a existência do limite.

Resposta

Podemos tomar \delta=0{,}01.

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