Verifique se os limites abaixo existem. Caso sim, use a definição por \epsilon e \delta, para mostrar cada limite existente. Em cada caso abaixo, vamos ter que verificar que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\\delta \Rightarrow|f(x, y)-f(0,0)|<\epsilon
Isto é, temos satisfeita a definição de função contínua. Quando achar o \delta
f(x, y, z)=x+y+z, \epsilon=0,02

Passo 1

O problema pede para mostrar, usando a definição \epsilon \delta, que
\lim_{(x,y,z)\to(0,0,0)}f(x,y,z)=f(0,0,0),
onde f(x,y,z)=\(x+y+z) e f(0,0,0)\(=0), para um dado \epsilon\(=0,02). Precisamos encontrar \delta>0 tal que
\sqrt{x^2+y^2+z^2}<\delta\quad\Longrightarrow\quad|f(x,y,z)-0|<\epsilon.

Passo 2

Começamos avaliando a diferença que queremos controlar:
|f(x,y,z)-f(0,0,0)|=|x+y+z|.
Pela desigualdade triangular, temos
|x+y+z|\le|x|+|y|+|z|.

Passo 3

Agora relacionamos cada valor absoluto com a norma euclidiana: se \sqrt{x^2+y^2+z^2}<\delta, então
|x|\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}<\delta,\quad |y|<\delta,\quad |z|<\delta.
Logo
|x|+|y|+|z|<3\delta.

Passo 4

Para garantir |f(x,y,z)|<\epsilon basta exigir
3\delta\le\epsilon,
ou seja, escolher
\delta=\frac{\epsilon}{3}.
Como \epsilon\(=0,02), temos
\delta=\frac{0,02}{3}.

Passo 5

Concluímos que, com \delta\(=0,02/3), sempre que \sqrt{\(x^2+ y^2+ z^2}<\delta) ocorre
|f(x,y,z)-0|\le3\delta=\epsilon.
Isso mostra que o limite existe e vale 0.

Resposta

\delta = \frac{0,02}{3}.

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