Para as funções
e
apresentadas a seguir, determine
e
e os seus respectivos domínios:
e
;
Passo 1
Beleza, pessoal! A gente tem duas funções aqui:
e
. A missão é encontrar as composições dessas funções, ou seja,
,
,
e
, além de descobrir os domínios de cada uma. Para isso, vamos precisar entender como compor funções e verificar onde cada composição está definida.
Passo 2
Vamos começar com
. Isso significa que a gente vai substituir
dentro de
.
Agora, simplificando a expressão:
Agora, precisamos determinar o domínio de
. A expressão
está definida quando
, ou seja,
, o que nos dá
e
. Além disso,
exige que
porque não dá para dividir por zero. Portanto, o domínio de
é
.
Passo 3
Agora, vamos para
. Isso significa substituir
dentro de
.
Para encontrar o domínio de
, primeiro
precisa estar definido, ou seja,
(
) e
(já que
exige
). Então, o domínio de
é
.
Passo 4
Vamos agora calcular
, ou seja, compor
com ele mesmo.
Simplificando o denominador:
Então,
O domínio de
é onde
está definido e
. Já vimos que
está definido para
e
. Além disso, queremos que
:
Isso nunca acontece, então não há restrições adicionais. Portanto, o domínio de
é
.
Passo 5
Por último, vamos calcular
.
O domínio de
é onde
está definido, ou seja,
. Como
está sempre definido para qualquer
, desde que
.
Resposta
As composições e seus domínios são:
-
, com domínio . -
, com domínio . -
, com domínio . -
, com domínio .