Para as funções f e g apresentadas a seguir, determine f(g(x)), g(f(x)), f(f(x)) e g(g(x)) e os seus respectivos domínios:
f(x) = x/(x-1) e g(x) = x^(-2);

Passo 1

Beleza, pessoal! A gente tem duas funções aqui: e . A missão é encontrar as composições dessas funções, ou seja, , , e , além de descobrir os domínios de cada uma. Para isso, vamos precisar entender como compor funções e verificar onde cada composição está definida.

Passo 2

Vamos começar com . Isso significa que a gente vai substituir dentro de .
Agora, simplificando a expressão:
Agora, precisamos determinar o domínio de . A expressão está definida quando , ou seja, , o que nos dá e . Além disso, exige que porque não dá para dividir por zero. Portanto, o domínio de é .

Passo 3

Agora, vamos para . Isso significa substituir dentro de .
Para encontrar o domínio de , primeiro precisa estar definido, ou seja, ( ) e (já que exige ). Então, o domínio de é .

Passo 4

Vamos agora calcular , ou seja, compor com ele mesmo.
Simplificando o denominador:
Então,
O domínio de é onde está definido e . Já vimos que está definido para e . Além disso, queremos que :
Isso nunca acontece, então não há restrições adicionais. Portanto, o domínio de é .

Passo 5

Por último, vamos calcular .
O domínio de é onde está definido, ou seja, . Como está sempre definido para qualquer , desde que .

Resposta

As composições e seus domínios são:
  1. , com domínio .
  2. , com domínio .
  3. , com domínio .
  4. , com domínio .

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