(1,5 pontos) Determine a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de maior volume inscrito em uma esfera de raio
. O conteúdo é otimização de volume com restrição geométrica (inscrição em esfera), e vamos precisar usar a relação entre altura e raio do cilindro dada pela esfera e depois derivar o volume em relação a uma variável para encontrar o máximo.
Passo 2
Chame de
a altura do cilindro e de
o raio da base. Como o cilindro é inscrito em uma esfera de raio
, os pontos extremos do eixo do cilindro tocam a esfera, logo vale a relação
Passo 3
O volume do cilindro é
. Substituindo
, obtemos
Passo 4
Para maximizar, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Isto dá
, de onde
Passo 5
Com
encontrado, o raio da base é
Assim o diâmetro da base é
.
Passo 6
A razão pedida entre a altura
e o diâmetro
é
Resposta
A razão entre a altura e o diâmetro do cilindro é
.