(1,5 pontos) Determine a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio a.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a razão entre a altura e o diâmetro da base do cilindro de maior volume inscrito em uma esfera de raio a. O conteúdo é otimização de volume com restrição geométrica (inscrição em esfera), e vamos precisar usar a relação entre altura e raio do cilindro dada pela esfera e depois derivar o volume em relação a uma variável para encontrar o máximo.

Passo 2

Chame de h a altura do cilindro e de r o raio da base. Como o cilindro é inscrito em uma esfera de raio a, os pontos extremos do eixo do cilindro tocam a esfera, logo vale a relação
r^2 + l(tfrach2r)^2 = a^2

Passo 3

O volume do cilindro é V = pi r^2 h. Substituindo r^2 = a^2 - tfrach^24, obtemos
V(h) = pi l(a^2 - tfrach^24r) h = pil(a^2 h - tfrach^34r)

Passo 4

Para maximizar, derivamos em relação a h e igualamos a zero:
V'(h) = pil(a^2 - tfrac3h^24r) = 0
Isto dá a^2 - tfrac3h^24 = 0, de onde
h^2 = tfrac43a^2 Longrightarrow h = tfrac2araiz3

Passo 5

Com h encontrado, o raio da base é
r = raiza^2 - tfrach^24 = raiza^2 - tfraca^23 = araiztfrac23
Assim o diâmetro da base é D = 2r = 2araiztfrac23.

Passo 6

A razão pedida entre a altura h e o diâmetro D é
hD = tfrac2araiz32araiztfrac23 = 1raiz2

Resposta

A razão entre a altura e o diâmetro do cilindro é hD=1raiz2.

Exercícios relacionados