(2,0 pontos) Para a função f(x)=x cdot ln (x), definida para x>0,
a) Determine os limites para x 0^+e também para x infty. Não é necessário justificar.
b) Determine os pontos de máximo e/ou mínimo e os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
c) Determine os pontos de inflexão e os intervalos onde o gráfico da função é concâvo para cima e onde é concâvo para baixo.
d) Faça um esboço do gráfico da função.

Passo 1

A questão trabalha com a função f(x)=x·ln(x) definida para x>0. Vamos precisar calcular limites, derivadas de primeira e segunda ordem para estudar monotonicidade, extremos, concavidade e pontos de inflexão, e depois esboçar o gráfico.

Passo 2

Para os limites, note que
limxto0^+xln(x)=limxto0^+ln(x)1/x
Aplicando L’Hôpital ( ln(x)to-infty, 1/xto+infty), obtemos
limxto0^+xln(x)=limxto0^+-x=0
E claramente
limxtoinftyxln(x)=+infty

Passo 3

Calcule a derivada de primeira ordem:
f'(x)=ddxl(xln(x)r)=ln(x)+1
Para achar extremos, resolvemos f'(x)=0:
ln(x)+1=0implies x= e^-1=1/e
Testando o sinal de f'(x): é negativo para 0 e positivo para x>1/e. Logo a função decresce em (0,1/e), cresce em (1/e,infty) e tem um mínimo em x=1/e com valor f(1/e)=-1/e

Passo 4

Agora a derivada de segunda ordem:
f''(x)=ddxl(ln(x)+1r)=1x
Como f''(x)=1/x>0 para todo x>0, a função é sempre côncava para cima e não há pontos de inflexão.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, considere:
  • limxto0^+f(x)=0^-, ou seja, o gráfico chega em (0,0) por baixo.
  • Mínimo em (1/e,-1/e).
  • Interseção com o eixo x em x=1, pois f(1)=0.
  • Para xtoinfty, f(x)to+infty.
  • Sempre côncavo para cima. Esses pontos e curvatura permitem esboçar a forma da curva.

Passo 6

Desenhe um eixo cartesiano, marque (1/e,-1/e) como mínimo, o ponto (1,0) na curva, indique a subida para +∞ e a aproximação a 0 por baixo quando xto0^+.

Resposta

a) limxto0^+xln(x)=0 e limxtoinftyxln(x)=+infty
b) f'(x)=ln(x)+1 zera em x=1/e. Decresce em (0,1/e), cresce em (1/e,infty), com mínimo em (1/e,-1/e).
c) f''(x)=1/x>0 em (0,infty), logo sempre côncava para cima e sem pontos de inflexão.
d) Gráfico: curva que vem de 0 por baixo em xto0^+, atinge mínimo em (1/e,-1/e), cruza x-eixo em (1,0) e cresce para +∞, sendo sempre côncava para cima.

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