(2,0 pontos) Para a função
, definida para
,
a) Determine os limites para
e também para
. Não é necessário justificar.
b) Determine os pontos de máximo e/ou mínimo e os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
c) Determine os pontos de inflexão e os intervalos onde o gráfico da função é concâvo para cima e onde é concâvo para baixo.
d) Faça um esboço do gráfico da função.
a) Determine os limites para
b) Determine os pontos de máximo e/ou mínimo e os intervalos onde a função é crescente e onde é decrescente.
c) Determine os pontos de inflexão e os intervalos onde o gráfico da função é concâvo para cima e onde é concâvo para baixo.
d) Faça um esboço do gráfico da função.
Passo 1
A questão trabalha com a função f(x)=x·ln(x) definida para x>0. Vamos precisar calcular limites, derivadas de primeira e segunda ordem para estudar monotonicidade, extremos, concavidade e pontos de inflexão, e depois esboçar o gráfico.
Passo 2
Para os limites, note que
Aplicando L’Hôpital (
,
), obtemos
E claramente
Passo 3
Calcule a derivada de primeira ordem:
Para achar extremos, resolvemos
:
Testando o sinal de
: é negativo para
e positivo para
. Logo a função decresce em
, cresce em
e tem um mínimo em
com valor
Passo 4
Agora a derivada de segunda ordem:
Como
para todo
, a função é sempre côncava para cima e não há pontos de inflexão.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, considere:
-
, ou seja, o gráfico chega em (0,0) por baixo. - Mínimo em
. - Interseção com o eixo
em , pois . - Para
, . - Sempre côncavo para cima. Esses pontos e curvatura permitem esboçar a forma da curva.
Passo 6
Desenhe um eixo cartesiano, marque
como mínimo, o ponto
na curva, indique a subida para +∞ e a aproximação a 0 por baixo quando
.
Resposta
a)
e
b) zera em
. Decresce em
, cresce em
, com mínimo em
.
c) em
, logo sempre côncava para cima e sem pontos de inflexão.
d) Gráfico: curva que vem de 0 por baixo em , atinge mínimo em
, cruza
-eixo em
e cresce para +∞, sendo sempre côncava para cima.
b)
c)
d) Gráfico: curva que vem de 0 por baixo em